Resolva o que se pede:
Faça o gráfico da função h(x)=\left(\frac{1}{8}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para “fazer o gráfico” da função h(x)=\left(\frac{1}{8}\right)^{x}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Função: h(x)=\left(\dfrac{1}{8}\right)^{x}.
  • Pedido: desenhar (ou saber como desenhar) o gráfico dessa função no plano cartesiano.
Não há outros dados ou restrições. A partir disso vamos identificar todas as propriedades necessárias para traçar o gráfico e mostrar passo a passo como desenhá‑lo.

Passo 2

Entendendo a forma geral: o que é uma função exponencial e o que muda quando a base está entre 0 e 1.
  • Uma função exponencial tem a forma f(x)=a^{x}, onde a>0 e a\neq1.
  • Aqui a=\dfrac{1}{8}. Como 0<a<1, a função é uma exponencial decrescente (ou seja, tende a zero quando x\to+\infty e cresce sem limite quando x\to-\infty).
  • Outra forma útil: \left(\dfrac{1}{8}\right)^{x}=8^{-x}. Isso mostra que h é a transformação de 8^{x} por reflexão no eixo y (porque trocar x por -x reflete em y).
Explicação didática: na prova, sempre que a base a satisfaz 0<a<1, pense “decai conforme x aumenta”. Se a>1, cresce.

Passo 3

Pontos importantes para plotar — calcule valores para alguns x inteiros simples (esses são fáceis de calcular sem calculadora):
Vamos fazer uma tabela com x e h(x)=\left(\dfrac{1}{8}\right)^{x}.
\begin{array}{c|c} x & h(x)=\left(\dfrac{1}{8}\right)^{x} \\\ \hline -3 & \left(\dfrac{1}{8}\right)^{-3}=8^{3}=512 \\\\ -2 & \left(\dfrac{1}{8}\right)^{-2}=8^{2}=64 \\\\ -1 & \left(\dfrac{1}{8}\right)^{-1}=8 \\\\ 0 & \left(\dfrac{1}{8}\right)^{0}=1 \\\\ 1 & \left(\dfrac{1}{8}\right)^{1}=\dfrac{1}{8}=0,125 \\\\ 2 & \left(\dfrac{1}{8}\right)^{2}=\dfrac{1}{64}=0,015625 \\\\ 3 & \left(\dfrac{1}{8}\right)^{3}=\dfrac{1}{512}=0,001953125 \end{array}
Observações práticas:
  • Para x<0 os valores são inteiros grandes ( 8,64,512), então o gráfico sobe muito à esquerda.
  • Para x>0 os valores decaem rapidamente para números pequenos (já em x=2 é 0,015625). Isso mostra decaimento rápido.

Passo 4

Análises limites e assíntota:
  • Limite quando x\to+\infty:
\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{1}{8}\right)^{x}=0.
Isto significa que a reta y=0 é uma assíntota horizontal do gráfico.
  • Limite quando x\to-\infty:
\lim_{x\to-\infty}\left(\dfrac{1}{8}\right)^{x}=+\infty.
Ou seja, o gráfico cresce sem limite à esquerda.

Passo 5

Domínio, imagem e interceptos — coisas que sempre mencionar na prova:
  • Domínio: todos os reais, isto é \;(-\infty,\infty), porque a exponencial está definida para qualquer x.
  • Imagem (contradomínio efetivo): (0,\infty), pois \left(\dfrac{1}{8}\right)^{x} é sempre positiva e nunca atinge 0.
  • Intercepto com o eixo y (quando x=0): h(0)=1. Logo o ponto (0,1) está no gráfico.
  • Intercepto com o eixo x: não existe, porque a função nunca zera.

Passo 6

Monotonicidade (derivada) — mostrar como decidir se cresce ou decresce:
Fórmula de derivação para exponencial a^{x}: \dfrac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a. Aqui aplicamos com a=\dfrac{1}{8}.
  • Derivada:
h'(x)=\left(\dfrac{1}{8}\right)^{x}\ln\!\left(\dfrac{1}{8}\right).
  • Como \left(\dfrac{1}{8}\right)^{x}>0 para todo x e \ln\!\left(\dfrac{1}{8}\right)<0 (porque \dfrac{1}{8}<1), então h'(x)<0 para todo x. Portanto h é estritamente decrescente para todo x.
Na prova: calcular o sinal de \ln(a) resolve se a^{x} cresce ( \ln a>0) ou decresce ( \ln a<0).

Passo 7

Concavidade (segunda derivada):
  • Segunda derivada:
h''(x)=\left(\dfrac{1}{8}\right)^{x}\left(\ln\!\left(\dfrac{1}{8}\right)\right)^{2}.
  • Aqui \left(\ln\!\left(\dfrac{1}{8}\right)\right)^{2}>0 e \left(\dfrac{1}{8}\right)^{x}>0, logo h''(x)>0 para todo x. Portanto o gráfico é côncavo para cima em toda a reta real.
Na linguagem visual: mesmo decrescendo, a curva vai “ficando menos inclinada” e tem curvatura para cima.

Passo 8

Relação com 8^{x}: reflexão no eixo y
  • Como já notamos, \left(\dfrac{1}{8}\right)^{x}=8^{-x}. Se f(x)=8^{x}, então h(x)=f(-x). Portanto o gráfico de h é o gráfico de 8^{x} refletido em relação ao eixo y. Isso é útil como atalho de desenho: desenhe 8^{x} e reflita.

Passo 9

Instruções práticas para desenhar o gráfico à mão (passo a passo):
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares x e y. Marque o ponto (0,1) no eixo y.
  2. Trace a assíntota horizontal y=0 como uma linha tracejada (o gráfico vai se aproximar dela à direita).
  3. Escolha uma escala vertical que permita representar valores grandes à esquerda (por exemplo, marque 1, 8, 64 em escala linear — se não couber tudo na mesma página, marque apenas 1 e coloque setas indicando crescimento para cima). Para a direita, note que valores ficam bem pequenos rapidamente (por exemplo 0,125, 0,0156).
  4. Plote os pontos da tabela do Passo 3: (-3,512), (-2,64), (-1,8), (0,1), (1,0,125), (2,0,015625), (3,0,001953125).
  5. Una os pontos com uma curva suave, sempre lembrando que:
    • Para x\to-\infty a curva sobe indefinidamente.
    • Para x\to+\infty a curva se aproxima de y=0 sem tocá‑la.
    • A curva é estritamente decrescente e côncava para cima.
  6. Se preferir um esboço menos detalhado: desenhe uma curva que passe por (0,1), passe por (1,0,125) bem perto do eixo x, e que suba rapidamente para a esquerda (cruzando y=8 em x=-1 etc.), aproximando‑se de y=0 à direita.
Dica de prova: sempre marque (0,1) e a assíntota y=0 — já dá boa parte do esboço correto.

Passo 10

Resumo das propriedades que você pode anotar junto com o gráfico (útil na prova):
\text{Domínio: }(-\infty,\infty)í
\text{Imagem: }(0,\infty)
\text{Intercepto em }y:\\ (0,1)
\text{Assíntota horizontal: }y=0í
\text{Monotonicidade: decrescente (pois }h'(x)=\left(\tfrac{1}{8}\right)^{x}\ln\!\left(\tfrac{1}{8}\right)<0\text{)}
\text{Concavidade: côncavo para cima (pois }h''(x)=\left(\tfrac{1}{8}\right)^{x}\bigl(\ln\!\left(\tfrac{1}{8}\right)\bigr)^{2}>0\text{)}ô

Resposta

Gráfico da função h(x)=\left(\dfrac{1}{8}\right)^{x}: curva exponencial decrescente, domínio (-\infty,\infty), imagem (0,\infty), intercepto em y no ponto (0,1), assíntota horizontal y=0; passa por (1,0,125), (2,0,015625) e por (-1,8), (-2,64), (-3,512); é estritamente decrescente e côncava para cima.

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