Resolva o que se pede:
Faça o gráfico da função
Faça o gráfico da função
Passo 1
O enunciado pede para “fazer o gráfico” da função
.
Informações dadas e o que é pedido:
- Função:
. - Pedido: desenhar (ou saber como desenhar) o gráfico dessa função no plano cartesiano.
Não há outros dados ou restrições. A partir disso vamos identificar todas as propriedades necessárias para traçar o gráfico e mostrar passo a passo como desenhá‑lo.
Passo 2
Entendendo a forma geral: o que é uma função exponencial e o que muda quando a base está entre
e
.
- Uma função exponencial tem a forma
, onde e . - Aqui
. Como , a função é uma exponencial decrescente (ou seja, tende a zero quando e cresce sem limite quando ). - Outra forma útil:
. Isso mostra que é a transformação de por reflexão no eixo (porque trocar por reflete em ).
Explicação didática: na prova, sempre que a base
satisfaz
, pense “decai conforme
aumenta”. Se
, cresce.
Passo 3
Pontos importantes para plotar — calcule valores para alguns
inteiros simples (esses são fáceis de calcular sem calculadora):
Vamos fazer uma tabela com
e
.
Observações práticas:
- Para
os valores são inteiros grandes ( ), então o gráfico sobe muito à esquerda. - Para
os valores decaem rapidamente para números pequenos (já em é ). Isso mostra decaimento rápido.
Passo 4
Análises limites e assíntota:
- Limite quando
:
Isto significa que a reta
é uma assíntota horizontal do gráfico.
- Limite quando
:
Ou seja, o gráfico cresce sem limite à esquerda.
Passo 5
Domínio, imagem e interceptos — coisas que sempre mencionar na prova:
- Domínio: todos os reais, isto é
, porque a exponencial está definida para qualquer . - Imagem (contradomínio efetivo):
, pois é sempre positiva e nunca atinge . - Intercepto com o eixo
(quando ): . Logo o ponto está no gráfico. - Intercepto com o eixo
: não existe, porque a função nunca zera.
Passo 6
Monotonicidade (derivada) — mostrar como decidir se cresce ou decresce:
Fórmula de derivação para exponencial
:
. Aqui aplicamos com
.
- Derivada:
- Como
para todo e (porque ), então para todo . Portanto é estritamente decrescente para todo .
Na prova: calcular o sinal de
resolve se
cresce (
) ou decresce (
).
Passo 7
Concavidade (segunda derivada):
- Segunda derivada:
- Aqui
e , logo para todo . Portanto o gráfico é côncavo para cima em toda a reta real.
Na linguagem visual: mesmo decrescendo, a curva vai “ficando menos inclinada” e tem curvatura para cima.
Passo 8
Relação com
: reflexão no eixo
- Como já notamos,
. Se , então . Portanto o gráfico de é o gráfico de refletido em relação ao eixo . Isso é útil como atalho de desenho: desenhe e reflita.
Passo 9
Instruções práticas para desenhar o gráfico à mão (passo a passo):
- Desenhe dois eixos perpendiculares
e . Marque o ponto no eixo . - Trace a assíntota horizontal
como uma linha tracejada (o gráfico vai se aproximar dela à direita). - Escolha uma escala vertical que permita representar valores grandes à esquerda (por exemplo, marque
, , em escala linear — se não couber tudo na mesma página, marque apenas e coloque setas indicando crescimento para cima). Para a direita, note que valores ficam bem pequenos rapidamente (por exemplo , ). - Plote os pontos da tabela do Passo 3:
, , , , , , . - Una os pontos com uma curva suave, sempre lembrando que:
- Para
a curva sobe indefinidamente. - Para
a curva se aproxima de sem tocá‑la. - A curva é estritamente decrescente e côncava para cima.
- Para
- Se preferir um esboço menos detalhado: desenhe uma curva que passe por
, passe por bem perto do eixo , e que suba rapidamente para a esquerda (cruzando em etc.), aproximando‑se de à direita.
Dica de prova: sempre marque
e a assíntota
— já dá boa parte do esboço correto.
Passo 10
Resumo das propriedades que você pode anotar junto com o gráfico (útil na prova):
Resposta
Gráfico da função
: curva exponencial decrescente, domínio
, imagem
, intercepto em
no ponto
, assíntota horizontal
; passa por
,
e por
,
,
; é estritamente decrescente e côncava para cima.