Uma empresa quer estimar a proporção de peças defeituosas com erro máximo de 2 \% e confiança de 98 \%. Assumir proporção preliminar de 5 \%. Determine o tamanho da amostra necessária.

Passo 1

O que o problema pede: determinar o tamanho da amostra necessário para estimar a proporção de peças defeituosas com erro máximo de 2\% e nível de confiança de 98\%, usando uma proporção preliminar de 5\%.
Informações dadas:
  • Erro máximo (margem de erro): E=0,02.
  • Confiança: 98\%.
  • Proporção preliminar: \hat{p}=0,05.
  • Não foi informada a dimensão da população, portanto vamos assumir população grande (ou amostragem com reposição), usando a fórmula clássica para amostragem para proporções.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (apresento e explico porque ela vem daí):
A margem de erro para uma estimativa de proporção, pela aproximação normal, é
E = z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.
Aqui:
  • E é o erro máximo tolerado (margem de erro).
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança (por exemplo, para 98\% de confiança usamos o quantil que deixa 1\% de cada cauda).
  • p é a proporção (aqui usamos a estimativa preliminar \hat{p}).
  • n é o tamanho de amostra que queremos achar.
Isolando n na expressão:
n = \frac{z_{1-\alpha/2}^2\,p(1-p)}{E^2}.
Explicação intuitiva: a variabilidade da proporção amostral é \sqrt{p(1-p)/n}; multiplicando por um fator z obtemos a margem de erro para o nível de confiança desejado. Resolver para n nos dá quantas observações são necessárias para que essa margem seja no máximo E.

Passo 3

Determinar z_{1-\alpha/2}.
O nível de confiança é 98\%, então \alpha = 1-0,98 = 0,02 e 1-\alpha/2 = 1-0,01 = 0,99.
O quantil da normal padrão tal que a área à esquerda é 0,99 é aproximadamente z_{0,99} \approx 2,3263. (Esse valor vem de tabela da normal padrão ou calculadora; você pode memorizar z_{0,99}\approx 2,3263.)

Passo 4

Calcular p(1-p) usando a proporção preliminar \hat{p}=0,05:
p(1-p)=0,05\cdot 0,95=0,0475.

Passo 5

Calcular z^2 e o numerador z^2 p(1-p).
Primeiro z^2:
z_{0,99}^2 \approx 2,3263^2 \approx 5,4115.
Agora multiplicando por p(1-p):
z^2 p(1-p) \approx 5,4115 \times 0,0475 \approx 0,25704625.
Mostrei as contas para você poder replicar sem calculadora: multipliquei 5,4115 por 0,05 e subtraí 5,4115 vezes 0,0025 (porque 0,0475=0,05-0,0025).

Passo 6

Dividir pelo quadrado do erro E^2.
Temos E=0,02, então
E^2 = 0,02^2 = 0,0004.
Logo
n \approx \frac{0,25704625}{0,0004} \approx 642,615625.

Passo 7

Arredondamento e observações finais.
Como amostra deve conter um número inteiro de observações e devemos garantir que o erro seja no máximo E, sempre arredondamos para cima. Assim n = 643.
Observação didática: se não tivéssemos uma estimativa preliminar para p, usaríamos p=0,5 (caso conservador que maximiza p(1-p)). Nesse caso o n seria bem maior (por exemplo, com os mesmos z e E, obteríamos aproximadamente n\approx 3383).

Resposta

n=643

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