Uma empresa quer estimar a proporção de peças defeituosas com erro máximo de
e confiança de
. Assumir proporção preliminar de
. Determine o tamanho da amostra necessária.
Passo 1
O que o problema pede: determinar o tamanho da amostra necessário para estimar a proporção de peças defeituosas com erro máximo de
e nível de confiança de
, usando uma proporção preliminar de
.
Informações dadas:
- Erro máximo (margem de erro):
. - Confiança:
. - Proporção preliminar:
. - Não foi informada a dimensão da população, portanto vamos assumir população grande (ou amostragem com reposição), usando a fórmula clássica para amostragem para proporções.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (apresento e explico porque ela vem daí):
A margem de erro para uma estimativa de proporção, pela aproximação normal, é
Aqui:
-
é o erro máximo tolerado (margem de erro). -
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança (por exemplo, para de confiança usamos o quantil que deixa de cada cauda). -
é a proporção (aqui usamos a estimativa preliminar ). -
é o tamanho de amostra que queremos achar.
Isolando
na expressão:
Explicação intuitiva: a variabilidade da proporção amostral é
; multiplicando por um fator
obtemos a margem de erro para o nível de confiança desejado. Resolver para
nos dá quantas observações são necessárias para que essa margem seja no máximo
.
Passo 3
Determinar
.
O nível de confiança é
, então
e
.
O quantil da normal padrão tal que a área à esquerda é
é aproximadamente
. (Esse valor vem de tabela da normal padrão ou calculadora; você pode memorizar
.)
Passo 4
Calcular
usando a proporção preliminar
:
Passo 5
Calcular
e o numerador
.
Primeiro
:
Agora multiplicando por
:
Mostrei as contas para você poder replicar sem calculadora: multipliquei 5,4115 por 0,05 e subtraí 5,4115 vezes 0,0025 (porque
).
Passo 6
Dividir pelo quadrado do erro
.
Temos
, então
Logo
Passo 7
Arredondamento e observações finais.
Como amostra deve conter um número inteiro de observações e devemos garantir que o erro seja no máximo
, sempre arredondamos para cima. Assim
.
Observação didática: se não tivéssemos uma estimativa preliminar para
, usaríamos
(caso conservador que maximiza
). Nesse caso o
seria bem maior (por exemplo, com os mesmos
e
, obteríamos aproximadamente
).