Dois fabricantes fabricam uma engrenagem de plástico usada em uma impressora a laser. A resistência ao impacto (lbf-ft) dessas engrenagens é uma característica importante. Uma amostra aleatória de cada fornecedor foi tomada e os resultados (estatísticas) estăo apresentados abaixo.
n \tilde{x}[\mathrm{lbf}-\mathrm{ft}] s[\mathrm{lbf}-\mathrm{ft}]
Fornecedor A 16 290 12
Fornecedor B 16 321 22
Discuta a adequação de cada um dos testes abaixo, quais afirmações são colocadas em teste, quais são as conclusões com base no valor-P e no intervalo de confiança, e qual você considera o mais indicado para esta situação, utilize \alpha=0,01.
Teste 1 Teste 2 Teste 3
Hipótese nula H_{0}: \mu_{A}=\mu_{B} H_{0}: \mu_{A}=\mu_{B} H_{0}: \mu_{A}=\mu_{B}
Hipótese alternativa H_{1}: \mu_{A} \neq \mu_{B} H_{1}: \mu_{A}<\mu_{B} H_{2}: \mu_{A}>\mu_{B}
Estatistica do teste \mathrm{t}=-4.948 \mathrm{t}=-4.948 \mathrm{t}=-4.948
Valor-P p-value = 5.184E-05 p -value =2.592 \mathrm{E}-05 p-value = 1
Intervalo de confiança [-43.95; -18.04] [ -\infty ;-20.26 ] [-41.73; \infty ]
Decisão e conclusão de cada um dos testes baseado no valor-p, e interpretação do intervalo de confiança.

Passo 1

O enunciado fornece amostras independentes de dois fornecedores com as estatísticas abaixo:
\begin{array}{l|cccc} \text{Fornecedor} & n & \tilde{x}\;[\text{lbf-ft}] & s\;[\text{lbf-ft}] \\\ \hline \text{A} & 16 & 290 & 12 \\\ \text{B} & 16 & 321 & 22 \end{array}
Também são apresentados três testes com as hipóteses nulas e alternativas, a estatística de teste t=-4{,}948, os respectivos valores- p e intervalos:
  • Teste 1: H_0:\mu_A=\mu_B vs H_1:\mu_A\neq\mu_B, p=5{,}184\times10^{-5}, IC [ -43{,}95;\,-18{,}04].
  • Teste 2: H_0:\mu_A=\mu_B vs H_1:\mu_A<\mu_B, p=2{,}592\times10^{-5}, IC (-\infty;\,-20{,}26].
  • Teste 3: H_0:\mu_A=\mu_B vs H_2:\mu_A>\mu_B, p=1, IC [-41{,}73;\,\infty).
O que é pedido:
  • Discutir a adequação de cada teste;
  • Dizer quais afirmações cada teste coloca em prova (ou seja, as hipóteses);
  • Dar a conclusão baseada no valor- p e no intervalo de confiança, usando \alpha=0{,}01;
  • Indicar qual teste é o mais indicado para esta situação.

Passo 2

Antes de testar, precisamos entender que tipo de teste é apropriado e as suposições necessárias — vamos revisar isso com calma.
  • Objetivo de um teste de diferença de médias: comparar \mu_A e \mu_B, as médias populacionais de resistência dos dois fornecedores.
  • Suposições clássicas do teste t com variância pooled (igual variância):
    1. Amostras independentes (presumivelmente verdade aqui).
    2. Cada população tem distribuição aproximadamente normal (importante com n=16 — tamanho pequeno).
    3. Variâncias populacionais iguais: \sigma_A^2=\sigma_B^2. Se essa suposição falha, o teste pooled pode ser inadequado; usamos então o teste de Welch (que não exige igualdade de variâncias).
  • Diferença entre testes:
    • Teste pooled (Student): assume variâncias iguais, usa s_p (variância combinada) para o erro padrão.
    • Teste de Welch: não assume variâncias iguais, usa erro padrão baseado em s_A^2/n_A + s_B^2/n_B e graus de liberdade aproximados (sendo geralmente não inteiros).
  • Qual hipótese escolher (unilateral vs bilateral):
    • Se você só quer saber se há qualquer diferença, use bilateral ( H_1:\mu_A\neq\mu_B).
    • Se você tem uma razão prévia para esperar uma direção (por exemplo, suspeita de que A é menor que B), pode justificar um teste unilateral H_1:\mu_A<\mu_B — mas essa escolha deve ser feita antes de olhar os dados.

Passo 3

Verificação rápida dos dados para a suposição de variâncias iguais:
  • Amostras: n_A=n_B=16.
  • Desvios-padrão amostrais: s_A=12, s_B=22.
  • Razão das variâncias: \dfrac{s_B^2}{s_A^2}=\dfrac{22^2}{12^2}=\dfrac{484}{144}\approx 3{,}36.
    Comentário didático: uma razão de variâncias maior que aproximadamente 2 já levanta suspeita de desigualdade significativa entre variâncias quando as amostras são pequenas. Aqui temos razão \approx 3{,}36, então a suposição de igualdade de variâncias é duvidosa — portanto o teste de Welch (não pooled) é, em princípio, mais robusto e preferível.
No entanto, é interessante notar que a estatística t=-4{,}948 dada foi obtida usando o pooled s_p (posso verificar: usando s_p obtemos praticamente o mesmo erro padrão e t indicado). Mesmo usando Welch, o valor absoluto de t fica muito parecido; o que muda são os graus de liberdade e, levemente, o p-valor. Com nossos números, o resultado continuará sendo altamente significativo.
Também é necessário checar normalidade: com n=16 cada, se houver fortes assimetrias ou outliers, o teste t pode não ser confiável; mas como só temos os sumários, assumimos normalidade aproximada para prosseguir — e isso deve ser mencionado como limitação.

Passo 4

Interpretação do valor- p e decisão com \alpha=0{,}01 — ensinando o que o valor- p significa:
  • Lembrete pedagógico: o valor- p é a probabilidade, sob H_0, de observar uma estatística tão extrema (ou mais) quanto a observada. Se p\leq\alpha, rejeitamos H_0; se p>\alpha, não rejeitamos H_0.
    Agora aplicando isso a cada teste.
Teste 1 (bilateral):
  • Hipóteses: H_0:\mu_A=\mu_B vs H_1:\mu_A\neq\mu_B.
  • Valor- p: p=5{,}184\times10^{-5}.
  • Comparação com \alpha: 5{,}184\times10^{-5}<0{,}01.
  • Decisão: rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0{,}01.
  • Interpretação: Há evidência estatística forte de que as médias não são iguais. Como a estatística t é negativa ( t=-4{,}948) e a diferença amostral \bar{x}_A-\bar{x}_B=290-321=-31 é negativa, a evidência indica \mu_A<\mu_B.
  • O intervalo de confiança bilateral dado [-43{,}95;\,-18{,}04] (presumivelmente um IC 99\%) não contém 0 e é totalmente negativo, o que confirma que a diferença \mu_A-\mu_B é negativa e provavelmente está entre -43{,}95 e -18{,}04. Isso é consistente com a rejeição de H_0.
Teste 2 (unilateral à esquerda):
  • Hipóteses: H_0:\mu_A=\mu_B vs H_1:\mu_A<\mu_B.
  • Valor- p: p=2{,}592\times10^{-5} (metade do valor bilateral, por ser teste unilateral compatível com a direção observada).
  • Comparação com \alpha: 2{,}592\times10^{-5}<0{,}01.
  • Decisão: rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0{,}01 em favor de H_1:\mu_A<\mu_B.
  • Interpretação: Há forte evidência de que \mu_A é menor que \mu_B. O intervalo unilaterial dado (-\infty;\,-20{,}26] indica um limite superior para \mu_A-\mu_B — ou seja, com o nível de confiança associado, a diferença não excede cerca de -20{,}26. Isso também é consistente com a conclusão \mu_A<\mu_B.
Teste 3 (unilateral à direita):
  • Hipóteses: H_0:\mu_A=\mu_B vs H_2:\mu_A>\mu_B.
  • Valor- p: p=1.
  • Comparação com \alpha: 1>0{,}01.
  • Decisão: não rejeitamos H_0 (na verdade, não há nenhuma evidência a favor de H_2).
  • Interpretação: Os dados não suportam a hipótese de que \mu_A>\mu_B. O intervalo unilateral [-41{,}73;\,\infty) indica um limite inferior negativo para \mu_A-\mu_B, ou seja, a diferença pode ser bastante negativa — o que é contrário a H_2. Em suma, este teste está mal direcionado dada a evidência observada (a estatística t é muito negativa), logo era de se esperar um grande p-value para a alternativa oposta.

Passo 5

Relação entre valores- p e intervalos de confiança — interpretação didática e coerência:
  • Um IC bilateral de nível 1-\alpha que não contém 0 é equivalente a rejeitar H_0:\mu_A=\mu_B em um teste bilateral ao nível \alpha. Aqui o IC [-43{,}95;\,-18{,}04] não contém 0, então rejeitamos H_0 para \alpha=0{,}01, coerente com o valor- p muito pequeno do Teste 1.
  • Para testes unilaterais, intervalos unilaterais (como (-\infty;\,-20{,}26] ou [-41{,}73;\,\infty)) são compatíveis com as decisões unilaterais: o IC unilaterial que limita a diferença para valores negativos é coerente com a conclusão de que \mu_A<\mu_B no Teste 2.
  • Em resumo: Teste 1 e Teste 2 dão conclusões consistentes entre valor- p e IC; Teste 3 é consistente também (não rejeita) porém a alternativa é oposta à evidência dos dados, portanto pouco útil neste caso.

Passo 6

Adequação prática de cada teste (resumindo e recomendando):
  • Teste 1 (bilateral, pooled): é um teste apropriado se você não tinha direção pré-especificada e acredita que as variâncias sejam iguais. No entanto, como s_B^2 é bem maior que s_A^2 (razão \approx 3{,}36), a suposição de variâncias iguais é duvidosa; portanto o pooled t pode não ser ideal. Apesar disso, aqui o efeito é forte e a conclusão (diferença significativa) provavelmente se mantém mesmo usando Welch.
  • Teste 2 (unilateral \mu_A<\mu_B): é apropriado apenas se você, antes de olhar os dados, tinha uma hipótese direcional justificada (por exemplo, suspeitava que A era pior). É estatisticamente mais potente para detectar a direção especificada. Os dados sustentam fortemente essa hipótese. O teste usa a mesma estatística, mas com p aproximadamente metade do teste bilateral.
  • Teste 3 (unilateral \mu_A>\mu_B): é mal direcionado diante dos dados observados (a estatística foi negativa). Não é apropriado aqui se seu objetivo é descobrir qual fornecedor é melhor; e seu p-value = 1 indica que não há suporte algum para essa alternativa.
Recomendação técnica final:
  • Por causa da diferença notável entre s_A e s_B e do pequeno tamanho amostral ( n=16), o mais indicado é usar o teste de Welch (não assumir igualdade de variâncias) e, salvo que haja forte razão prévia para escolher um teste unilateral, usar o teste bilateral H_1:\mu_A\neq\mu_B.
  • Conclusão prática com base nos dados: independentemente do pooled/ Welch, há evidência forte de que \mu_A<\mu_B (ou seja, as engrenagens do fornecedor B têm maior resistência média), e a diferença média estimada é cerca de -31 lbf-ft com IC bilateral 99\% aproximadamente [-43{,}95;\,-18{,}04].

Resposta

Teste 1 (bilateral): Rejeita-se H_0 ( p=5{,}184\times10^{-5}<0{,}01). Conclusão: evidência forte de diferença entre médias; como \bar{x}_A-\bar{x}_B=-31 e IC 99\% [-43{,}95;\,-18{,}04] não contém 0, conclui-se \mu_A<\mu_B.
Teste 2 (unilateral, H_1:\mu_A<\mu_B): Rejeita-se H_0 ( p=2{,}592\times10^{-5}<0{,}01). Conclusão: evidência forte de que \mu_A é menor que \mu_B; IC unilaterial (-\infty;\,-20{,}26] consistente com essa conclusão.
Teste 3 (unilateral, H_2:\mu_A>\mu_B): Não se rejeita H_0 ( p=1>0{,}01). Conclusão: não há evidência de que \mu_A>\mu_B; o IC unilaterial [-41{,}73;\,\infty) é coerente com uma diferença possivelmente negativa.
Recomendação geral: usar o teste de Welch (não pooled) por causa da grande diferença entre s_A e s_B; na ausência de hipótese direcional prévia, usar teste bilateral. Em qualquer caso prático, os dados mostram forte evidência de que \mu_A<\mu_B.

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