Dois fabricantes fabricam uma engrenagem de plástico usada em uma impressora a laser. A resistência ao impacto (lbf-ft) dessas engrenagens é uma característica importante. Uma amostra aleatória de cada fornecedor foi tomada e os resultados (estatísticas) estăo apresentados abaixo.
Fornecedor A
16
290
12
Fornecedor B
16
321
22
Discuta a adequação de cada um dos testes abaixo, quais afirmações são colocadas em teste, quais são as conclusões com base no valor-P e no intervalo de confiança, e qual você considera o mais indicado para esta situação, utilize
.
Teste 1
Teste 2
Teste 3
Hipótese nula
Hipótese alternativa
Estatistica do teste
Valor-P
p-value = 5.184E-05
p -value
p-value = 1
Intervalo de confiança
[-43.95; -18.04]
[
]
[-41.73;
]
Decisão e conclusão de cada um dos testes baseado no valor-p, e interpretação do intervalo de confiança.
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| Fornecedor A | 16 | 290 | 12 | |
| Fornecedor B | 16 | 321 | 22 |
| Teste 1 | Teste 2 | Teste 3 | |
| Hipótese nula |
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| Hipótese alternativa |
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| Estatistica do teste |
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| Valor-P | p-value = 5.184E-05 | p -value
|
p-value = 1 |
| Intervalo de confiança | [-43.95; -18.04] | [
|
[-41.73;
|
Passo 1
O enunciado fornece amostras independentes de dois fornecedores com as estatísticas abaixo:
Também são apresentados três testes com as hipóteses nulas e alternativas, a estatística de teste
, os respectivos valores-
e intervalos:
- Teste 1:
vs , , IC . - Teste 2:
vs , , IC . - Teste 3:
vs , , IC .
O que é pedido:
- Discutir a adequação de cada teste;
- Dizer quais afirmações cada teste coloca em prova (ou seja, as hipóteses);
- Dar a conclusão baseada no valor-
e no intervalo de confiança, usando ; - Indicar qual teste é o mais indicado para esta situação.
Passo 2
Antes de testar, precisamos entender que tipo de teste é apropriado e as suposições necessárias — vamos revisar isso com calma.
- Objetivo de um teste de diferença de médias: comparar
e , as médias populacionais de resistência dos dois fornecedores. - Suposições clássicas do teste
com variância pooled (igual variância): - Amostras independentes (presumivelmente verdade aqui).
- Cada população tem distribuição aproximadamente normal (importante com
— tamanho pequeno). - Variâncias populacionais iguais:
. Se essa suposição falha, o teste pooled pode ser inadequado; usamos então o teste de Welch (que não exige igualdade de variâncias).
- Diferença entre testes:
- Teste pooled (Student): assume variâncias iguais, usa
(variância combinada) para o erro padrão. - Teste de Welch: não assume variâncias iguais, usa erro padrão baseado em
e graus de liberdade aproximados (sendo geralmente não inteiros).
- Teste pooled (Student): assume variâncias iguais, usa
- Qual hipótese escolher (unilateral vs bilateral):
- Se você só quer saber se há qualquer diferença, use bilateral (
). - Se você tem uma razão prévia para esperar uma direção (por exemplo, suspeita de que
é menor que ), pode justificar um teste unilateral — mas essa escolha deve ser feita antes de olhar os dados.
- Se você só quer saber se há qualquer diferença, use bilateral (
Passo 3
Verificação rápida dos dados para a suposição de variâncias iguais:
- Amostras:
. - Desvios-padrão amostrais:
, . - Razão das variâncias:
.
Comentário didático: uma razão de variâncias maior que aproximadamentejá levanta suspeita de desigualdade significativa entre variâncias quando as amostras são pequenas. Aqui temos razão , então a suposição de igualdade de variâncias é duvidosa — portanto o teste de Welch (não pooled) é, em princípio, mais robusto e preferível.
No entanto, é interessante notar que a estatística
dada foi obtida usando o pooled
(posso verificar: usando
obtemos praticamente o mesmo erro padrão e
indicado). Mesmo usando Welch, o valor absoluto de
fica muito parecido; o que muda são os graus de liberdade e, levemente, o
-valor. Com nossos números, o resultado continuará sendo altamente significativo.
Também é necessário checar normalidade: com
cada, se houver fortes assimetrias ou outliers, o teste
pode não ser confiável; mas como só temos os sumários, assumimos normalidade aproximada para prosseguir — e isso deve ser mencionado como limitação.
Passo 4
Interpretação do valor-
e decisão com
— ensinando o que o valor-
significa:
- Lembrete pedagógico: o valor-
é a probabilidade, sob , de observar uma estatística tão extrema (ou mais) quanto a observada. Se , rejeitamos ; se , não rejeitamos .
Agora aplicando isso a cada teste.
Teste 1 (bilateral):
- Hipóteses:
vs . - Valor-
: . - Comparação com
: . - Decisão: rejeitamos
ao nível . - Interpretação: Há evidência estatística forte de que as médias não são iguais. Como a estatística
é negativa ( ) e a diferença amostral é negativa, a evidência indica . - O intervalo de confiança bilateral dado
(presumivelmente um IC ) não contém e é totalmente negativo, o que confirma que a diferença é negativa e provavelmente está entre e . Isso é consistente com a rejeição de .
Teste 2 (unilateral à esquerda):
- Hipóteses:
vs . - Valor-
: (metade do valor bilateral, por ser teste unilateral compatível com a direção observada). - Comparação com
: . - Decisão: rejeitamos
ao nível em favor de . - Interpretação: Há forte evidência de que
é menor que . O intervalo unilaterial dado indica um limite superior para — ou seja, com o nível de confiança associado, a diferença não excede cerca de . Isso também é consistente com a conclusão .
Teste 3 (unilateral à direita):
- Hipóteses:
vs . - Valor-
: . - Comparação com
: . - Decisão: não rejeitamos
(na verdade, não há nenhuma evidência a favor de ). - Interpretação: Os dados não suportam a hipótese de que
. O intervalo unilateral indica um limite inferior negativo para , ou seja, a diferença pode ser bastante negativa — o que é contrário a . Em suma, este teste está mal direcionado dada a evidência observada (a estatística é muito negativa), logo era de se esperar um grande -value para a alternativa oposta.
Passo 5
Relação entre valores-
e intervalos de confiança — interpretação didática e coerência:
- Um IC bilateral de nível
que não contém é equivalente a rejeitar em um teste bilateral ao nível . Aqui o IC não contém , então rejeitamos para , coerente com o valor- muito pequeno do Teste 1. - Para testes unilaterais, intervalos unilaterais (como
ou ) são compatíveis com as decisões unilaterais: o IC unilaterial que limita a diferença para valores negativos é coerente com a conclusão de que no Teste 2. - Em resumo: Teste 1 e Teste 2 dão conclusões consistentes entre valor-
e IC; Teste 3 é consistente também (não rejeita) porém a alternativa é oposta à evidência dos dados, portanto pouco útil neste caso.
Passo 6
Adequação prática de cada teste (resumindo e recomendando):
- Teste 1 (bilateral, pooled): é um teste apropriado se você não tinha direção pré-especificada e acredita que as variâncias sejam iguais. No entanto, como
é bem maior que (razão ), a suposição de variâncias iguais é duvidosa; portanto o pooled pode não ser ideal. Apesar disso, aqui o efeito é forte e a conclusão (diferença significativa) provavelmente se mantém mesmo usando Welch. - Teste 2 (unilateral
): é apropriado apenas se você, antes de olhar os dados, tinha uma hipótese direcional justificada (por exemplo, suspeitava que A era pior). É estatisticamente mais potente para detectar a direção especificada. Os dados sustentam fortemente essa hipótese. O teste usa a mesma estatística, mas com aproximadamente metade do teste bilateral. - Teste 3 (unilateral
): é mal direcionado diante dos dados observados (a estatística foi negativa). Não é apropriado aqui se seu objetivo é descobrir qual fornecedor é melhor; e seu -value = indica que não há suporte algum para essa alternativa.
Recomendação técnica final:
- Por causa da diferença notável entre
e e do pequeno tamanho amostral ( ), o mais indicado é usar o teste de Welch (não assumir igualdade de variâncias) e, salvo que haja forte razão prévia para escolher um teste unilateral, usar o teste bilateral . - Conclusão prática com base nos dados: independentemente do pooled/ Welch, há evidência forte de que
(ou seja, as engrenagens do fornecedor B têm maior resistência média), e a diferença média estimada é cerca de lbf-ft com IC bilateral aproximadamente .
Resposta
Teste 1 (bilateral): Rejeita-se
(
). Conclusão: evidência forte de diferença entre médias; como
e IC
não contém
, conclui-se
.
Teste 2 (unilateral, ): Rejeita-se
(
). Conclusão: evidência forte de que
é menor que
; IC unilaterial
consistente com essa conclusão.
Teste 3 (unilateral, ): Não se rejeita
(
). Conclusão: não há evidência de que
; o IC unilaterial
é coerente com uma diferença possivelmente negativa.
Recomendação geral: usar o teste de Welch (não pooled) por causa da grande diferença entre e
; na ausência de hipótese direcional prévia, usar teste bilateral. Em qualquer caso prático, os dados mostram forte evidência de que
.
Teste 2 (unilateral,
Teste 3 (unilateral,
Recomendação geral: usar o teste de Welch (não pooled) por causa da grande diferença entre