O tempo médio para um medicamento surtir efeito sobre os pacientes é uma informação importante para os pesquisadores. Em um estudo inicialmente realizado com uma amostra aleatória de 9 pacientes, foi obtido o valor médio do tempo de \bar{x}=15 minutos. Sabendo-se que os pesquisadores estăo assumindo, a partir de dados históricos, que o desvio-padrão do tempo para a população de pacientes é \sigma=4 minutos, analise as afirmativas a seguir.
  1. Em um intervalo de confiança bilateral de 95 \%, a margem de erro ao estimar a média do tempo para a população de pacientes é 2.61 minutos, aproximadamente.
    II. O intervalo de confiança para estimar o tempo médio da população de pacientes deve ser baseado na distribuição t-student com 8 graus de liberdade.
    III. Para garantir, com 95 \% de confiança, uma margem de erro de até \pm 1 minuto na estimação da média populacional do tempo, uma amostra com 65 pacientes seria suficiente.
    IV. Neste estudo, não há necessidade de se testar a normalidade dos dados analisados.
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s). (marque com X, apresente os cálculos no caderno de provas)
II, apenas. II e IV, apenas. I e III, apenas. I, III e IV, apenas.
I e II, apenas. I, apenas. I, II e III, apenas. IV, apenas.
II, III e IV, apenas. I, II, II ' IV I, II e IV, apenas. III, apenas.

Passo 1

O enunciado pede que eu analise quais das afirmativas I, II, III e IV são corretas, dadas as informações do estudo. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (estou listando-as exatamente como foram dadas):
  • Tamanho da amostra: n=9.
  • Média amostral: \bar{x}=15 minutos.
  • Desvio-padrão populacional conhecido: \sigma=4 minutos (informação histórica).
  • As afirmativas a avaliar são:
    I. Em um intervalo de confiança bilateral de 95\%, a margem de erro ao estimar a média populacional é 2{,}61 minutos, aproximadamente.
    II. O intervalo de confiança deve ser baseado na distribuição t-Student com 8 graus de liberdade.
    III. Para garantir, com 95\% de confiança, uma margem de erro de até \pm 1 minuto, uma amostra com 65 pacientes seria suficiente.
    IV. Neste estudo, não há necessidade de se testar a normalidade dos dados analisados.
    Vou checar cada uma delas passo a passo.

Passo 2

Avaliação da afirmativa I — cálculo da margem de erro para intervalo de confiança bilateral de 95\%.
Primeiro, a fórmula da margem de erro E para o intervalo de confiança da média quando o desvio-padrão populacional \sigma é conhecido é
E = z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • E é a margem de erro (metade da largura do intervalo de confiança).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição Normal padrão tal que a cauda superior tem probabilidade \alpha/2. Para um intervalo de 95\%, tem-se \alpha=0{,}05 e \alpha/2=0{,}025.
  • \sigma é o desvio-padrão populacional (aqui \sigma=4).
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=9).
Para 95\% temos o valor tabelado
z_{0{,}025}=1{,}96.
Calculemos \sigma/\sqrt{n}:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{9}} = \frac{4}{3} \approx 1{,}333\ldots
Agora a margem de erro:
E = 1{,}96 \cdot \frac{4}{3} = \frac{1{,}96\cdot 4}{3} = \frac{7{,}84}{3} \approx 2{,}6133\ldots
Arredondando, E \approx 2{,}61 minutos. Portanto a afirmativa I está correta.
Observação didática rápida: se alguém usasse a t-Student (veremos na II), obteria um E maior (por exemplo t_{0{,}025,8}\approx 2{,}306 daria E\approx 3{,}07), mas como \sigma é conhecido usamos z.

Passo 3

Avaliação da afirmativa II — “O intervalo de confiança deve ser baseado na distribuição t-Student com 8 graus de liberdade.”
Regra prática e conceito: quando o desvio-padrão populacional \sigma é desconhecido e se usa o desvio-padrão amostral s, a distribuição da estatística padronizada é a t-Student com n-1 graus de liberdade, e aí usamos t_{\,\alpha/2,n-1}. Se \sigma é conhecido (como no enunciado, \sigma=4), a estatística padronizada usa a Normal padrão e o quantil é z_{\alpha/2}.
Aqui o enunciado declarou que os pesquisadores estão assumindo \sigma=4 (desvio-padrão populacional conhecido). Logo, o método correto é usar a Normal padrão ( z), não a t-Student. Portanto a afirmativa II é falsa.
Para ilustrar a diferença (didático): com n=9,
t_{0{,}025,8}\approx 2{,}306 \quad\Rightarrow\quad E_{t}=2{,}306\cdot\frac{4}{3}\approx 3{,}074,
maior que o E obtido com z (2{,}61). Mas isso é só comparação — o uso correto aqui é z.

Passo 4

Avaliação da afirmativa III — cálculo do tamanho de amostra necessário para margem de erro \pm 1 minuto com 95\% de confiança.
Fórmula para tamanho de amostra n quando \sigma é conhecido e se deseja margem de erro E:
n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2}.
Aqui: z_{0{,}025}=1{,}96, \sigma=4, e meta E=1 minuto. Então
n = \left(\frac{1{,}96\cdot 4}{1}\right)^{2} = (7{,}84)^{2} = 61{,}4656\ldots
Regra prática: como n deve ser inteiro e precisamos garantir que o erro seja no máximo E, arredonda-se para cima:
n_{\text{mín}} = 62.í
Portanto uma amostra com 62 pacientes já seria suficiente; assim uma amostra com 65 pacientes (maior que 62) é também suficiente. Logo a afirmativa III é verdadeira.
Didática extra: sempre arredonde para cima no cálculo de tamanho amostral para não correr o risco de ficar com margem de erro maior que a desejada.

Passo 5

Avaliação da afirmativa IV — “Neste estudo, não há necessidade de se testar a normalidade dos dados analisados.”
Conceito importante: os intervalos de confiança para a média baseados na Normal (ou na t) assumem que a distribuição da variável na população é aproximadamente normal se a amostra for pequena. O Teorema Central do Limite (TCL) diz que para amostras grandes a média amostral é aproximadamente normal independentemente da distribuição da população, mas isso vale quando n é razoavelmente grande (comuns regras práticas: n\ge 30 costuma ser aceitável). Aqui n=9 é pequeno, então a aproximação pelo TCL é fraca e, para que o uso do procedimento (z ou t) seja válido, é necessário que a população seja aproximadamente normal ou que haja justificativa histórica para essa normalidade.
No enunciado somente foi informada a estimação histórica do desvio-padrão ( \sigma=4), mas não foi explicitamente dito que a distribuição dos tempos é normal. Então, em geral, com amostra pequena ( n=9) faz sentido testar (ou verificar graficamente) a normalidade dos dados antes de aplicar intervalos baseados em Normal/t. Assim, afirmar que “não há necessidade de testar a normalidade” é incorreto na prática. Portanto a afirmativa IV é falsa.
Observação empática: se os pesquisadores já tiverem fortes evidências históricas de que a variável é normal, aí o teste pode não ser necessário — mas isso teria de estar explicitado. Sem essa informação, não se pode descartar a verificação.

Passo 6

Conclusão consolidada das avaliações:
  • I: verdadeira.
  • II: falsa.
  • III: verdadeira.
  • IV: falsa.
Portanto as afirmativas corretas são I e III, apenas.

Resposta

I e III, apenas.

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