O tempo médio para um medicamento surtir efeito sobre os pacientes é uma informação importante para os pesquisadores. Em um estudo inicialmente realizado com uma amostra aleatória de 9 pacientes, foi obtido o valor médio do tempo de
minutos. Sabendo-se que os pesquisadores estăo assumindo, a partir de dados históricos, que o desvio-padrão do tempo para a população de pacientes é
minutos, analise as afirmativas a seguir.
- Em um intervalo de confiança bilateral de
, a margem de erro ao estimar a média do tempo para a população de pacientes é 2.61 minutos, aproximadamente.
II. O intervalo de confiança para estimar o tempo médio da população de pacientes deve ser baseado na distribuição t-student com 8 graus de liberdade.
III. Para garantir, com
de confiança, uma margem de erro de até
minuto na estimação da média populacional do tempo, uma amostra com 65 pacientes seria suficiente.
IV. Neste estudo, não há necessidade de se testar a normalidade dos dados analisados.
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s). (marque com X, apresente os cálculos no caderno de provas)
II, apenas.
II e IV, apenas.
I e III, apenas.
I, III e IV, apenas.
I e II, apenas.
I, apenas.
I, II e III, apenas.
IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, II ' IV
I, II e IV, apenas.
III, apenas.
II. O intervalo de confiança para estimar o tempo médio da população de pacientes deve ser baseado na distribuição t-student com 8 graus de liberdade.
III. Para garantir, com
IV. Neste estudo, não há necessidade de se testar a normalidade dos dados analisados.
| II, apenas. | II e IV, apenas. | I e III, apenas. | I, III e IV, apenas. |
| I e II, apenas. | I, apenas. | I, II e III, apenas. | IV, apenas. |
| II, III e IV, apenas. | I, II, II ' IV | I, II e IV, apenas. | III, apenas. |
Passo 1
O enunciado pede que eu analise quais das afirmativas I, II, III e IV são corretas, dadas as informações do estudo. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (estou listando-as exatamente como foram dadas):
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
minutos. - Desvio-padrão populacional conhecido:
minutos (informação histórica). - As afirmativas a avaliar são:
I. Em um intervalo de confiança bilateral de, a margem de erro ao estimar a média populacional é minutos, aproximadamente.
II. O intervalo de confiança deve ser baseado na distribuição t-Student comgraus de liberdade.
III. Para garantir, comde confiança, uma margem de erro de até minuto, uma amostra com pacientes seria suficiente.
IV. Neste estudo, não há necessidade de se testar a normalidade dos dados analisados.
Vou checar cada uma delas passo a passo.
Passo 2
Avaliação da afirmativa I — cálculo da margem de erro para intervalo de confiança bilateral de
.
Primeiro, a fórmula da margem de erro
para o intervalo de confiança da média quando o desvio-padrão populacional
é conhecido é
Explicando cada símbolo:
-
é a margem de erro (metade da largura do intervalo de confiança). -
é o quantil da distribuição Normal padrão tal que a cauda superior tem probabilidade . Para um intervalo de , tem-se e . -
é o desvio-padrão populacional (aqui ). -
é o tamanho da amostra (aqui ).
Para
temos o valor tabelado
Calculemos
:
Agora a margem de erro:
Arredondando,
minutos. Portanto a afirmativa I está correta.
Observação didática rápida: se alguém usasse a t-Student (veremos na II), obteria um
maior (por exemplo
daria
), mas como
é conhecido usamos
.
Passo 3
Avaliação da afirmativa II — “O intervalo de confiança deve ser baseado na distribuição t-Student com
graus de liberdade.”
Regra prática e conceito: quando o desvio-padrão populacional
é desconhecido e se usa o desvio-padrão amostral
, a distribuição da estatística padronizada é a t-Student com
graus de liberdade, e aí usamos
. Se
é conhecido (como no enunciado,
), a estatística padronizada usa a Normal padrão e o quantil é
.
Aqui o enunciado declarou que os pesquisadores estão assumindo
(desvio-padrão populacional conhecido). Logo, o método correto é usar a Normal padrão (
), não a t-Student. Portanto a afirmativa II é falsa.
Para ilustrar a diferença (didático): com
,
maior que o
obtido com
(2{,}61). Mas isso é só comparação — o uso correto aqui é
.
Passo 4
Avaliação da afirmativa III — cálculo do tamanho de amostra necessário para margem de erro
minuto com
de confiança.
Fórmula para tamanho de amostra
quando
é conhecido e se deseja margem de erro
:
Aqui:
,
, e meta
minuto. Então
Regra prática: como
deve ser inteiro e precisamos garantir que o erro seja no máximo
, arredonda-se para cima:
Portanto uma amostra com
pacientes já seria suficiente; assim uma amostra com
pacientes (maior que
) é também suficiente. Logo a afirmativa III é verdadeira.
Didática extra: sempre arredonde para cima no cálculo de tamanho amostral para não correr o risco de ficar com margem de erro maior que a desejada.
Passo 5
Avaliação da afirmativa IV — “Neste estudo, não há necessidade de se testar a normalidade dos dados analisados.”
Conceito importante: os intervalos de confiança para a média baseados na Normal (ou na t) assumem que a distribuição da variável na população é aproximadamente normal se a amostra for pequena. O Teorema Central do Limite (TCL) diz que para amostras grandes a média amostral é aproximadamente normal independentemente da distribuição da população, mas isso vale quando
é razoavelmente grande (comuns regras práticas:
costuma ser aceitável). Aqui
é pequeno, então a aproximação pelo TCL é fraca e, para que o uso do procedimento (z ou t) seja válido, é necessário que a população seja aproximadamente normal ou que haja justificativa histórica para essa normalidade.
No enunciado somente foi informada a estimação histórica do desvio-padrão (
), mas não foi explicitamente dito que a distribuição dos tempos é normal. Então, em geral, com amostra pequena (
) faz sentido testar (ou verificar graficamente) a normalidade dos dados antes de aplicar intervalos baseados em Normal/t. Assim, afirmar que “não há necessidade de testar a normalidade” é incorreto na prática. Portanto a afirmativa IV é falsa.
Observação empática: se os pesquisadores já tiverem fortes evidências históricas de que a variável é normal, aí o teste pode não ser necessário — mas isso teria de estar explicitado. Sem essa informação, não se pode descartar a verificação.
Passo 6
Conclusão consolidada das avaliações:
- I: verdadeira.
- II: falsa.
- III: verdadeira.
- IV: falsa.
Portanto as afirmativas corretas são I e III, apenas.
Resposta
I e III, apenas.