Uma máquina de envase deve preencher embalagens com 500 g de produto. Uma amostra de 36 embalagens apresentou média de 495 g e desvio-padrão conhecido de 18 g . Ao nível de significância de 5 \%, teste se a máquina está subdosando o produto.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede um teste de hipótese ao nível de significância de 5\%:
\text{tamanho da amostra } n=36,\qquad \bar{x}=495\\ \text{g},\qquad \sigma=18\\ \text{g (conhecido)},\qquad \mu_0=500\\ \text{g}.
A pergunta explícita é: testar, ao nível de significância de 5\%, se a máquina está subdosando o produto (ou seja, se a média real de enchimento é menor que 500 g).

Passo 2

Formulamos as hipóteses. Como queremos saber se a máquina está subdosando (menos do que 500 g), a hipótese alternativa é unilateral à esquerda. Escrevemos:
H_0:\\ \mu = 500\quad\text{(hipótese nula)}ó
H_1:\\ \mu < 500\quad\text{(hipótese alternativa: subdosagem)}ó
Comentário rápido e útil para a prova: muitas vezes também se escreve H_0:\mu\ge 500 versus H_1:\mu<500. A ideia é que H_0 é o cenário em que não há problema e H_1 é o problema que queremos detectar.

Passo 3

Escolha do teste e estatística: como o desvio-padrão populacional \sigma é conhecido, usa-se o teste z para a média. A estatística de teste é
Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Aqui \bar{X} é a média amostral, \mu_0 é o valor sob H_0, \sigma é o desvio-padrão populacional conhecido e \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média (uma medida de quanto a média amostral varia de amostra para amostra).
Calcule o erro padrão:
\text{erro padrão } = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{18}{\sqrt{36}} = \frac{18}{6} = 3\\ \text{g}.ã

Passo 4

Calcule a estatística Z com os dados:
Z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{495-500}{3}=\frac{-5}{3}=-1{,}666\overline{6}\approx -1{,}6667.
Expliquei cada substituição para você poder reproduzir passo a passo na prova.

Passo 5

Regra de decisão (crítica): para um teste unilateral à esquerda com nível de significância \alpha=5\%, o valor crítico na distribuição normal padrão é
z_{\alpha} = z_{0{,}05}\approx -1{,}645,
porque P(Z\le -1{,}645)=0{,}05 para Z\sim N(0,1).
A região de rejeição é Z\le z_{0{,}05}=-1{,}645.

Passo 6

Compare o Z calculado com o valor crítico:
Z\approx -1{,}6667 \le -1{,}645,
portanto Z cai na região de rejeição. Conclusão pelo critério de valor crítico: rejeita-se H_0 ao nível de 5\%.
Cálculo do p-valor (interpretação alternativa): o p-valor é a probabilidade, sob H_0, de observar um Z tão extremo ou mais extremo que o observado. Aqui
\text{p-valor} = P(Z\le -1{,}6667)\approx 0{,}0478.
Como \text{p-valor}\approx 0{,}0478 < 0{,}05, também rejeitamos H_0. Interpretação: há cerca de 4{,}78\% de chance de observar uma média tão baixa (ou mais) se a verdadeira média fosse 500 g.

Passo 7

Interpretação prática e linguagem para a prova: ao nível de significância de 5\% há evidência estatística suficiente para afirmar que a máquina está subdosando o produto — a média de enchimento parece ser menor que 500 g. Seja cuidadoso na prova: escreva as hipóteses, calcule o erro padrão, a estatística Z, compare com o valor crítico (ou use o p-valor) e conclua.

Resposta

Rejeita-se H_0 ao nível de significância de 5\%; há evidências de que a máquina está subdosando o produto (p-valor \approx 0{,}0478).

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