Uma empresa recebe lotes contendo centenas de resistores eletrônicos. Para controle de qualidade, um técnico seleciona aleatoriamente 30 resistores de cada lote para inspeção. A empresa sabe que, em média, 2 % dos resistores estão com defeito. O lote será rejeitado se forem encontrados pelo menos 3 resistores com defeito na amostra. Qual é a probabilidade de rejeição do lote? (R: 0,0197-Usar Distribuição Binomial)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de controle de qualidade usando probabilidade! A gente tem um lote de resistores onde, em média, 2% estão defeituosos. O técnico vai selecionar 30 resistores aleatoriamente e vai rejeitar o lote se encontrar pelo menos 3 defeituosos. Vamos usar Distribuição Binomial para calcular a probabilidade de rejeição.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os parâmetros da Distribuição Binomial. Temos:
  • n (número de tentativas) = 30 resistores
  • p (probabilidade de sucesso, ou seja, resistor defeituoso) = 0,02
A Distribuição Binomial nos ajuda a calcular a probabilidade de obter exatamente k sucessos (resistores defeituosos) em n tentativas.

Passo 3

Queremos saber a probabilidade de rejeitar o lote, ou seja, encontrar pelo menos 3 resistores defeituosos. Isso é representado por P(X ≥ 3), onde X é o número de resistores defeituosos na amostra.

Passo 4

Para encontrar P(X ≥ 3), é mais fácil calcular primeiro a probabilidade de não rejeitar o lote, ou seja, encontrar menos de 3 resistores defeituosos (0, 1 ou 2). Depois, subtraímos esse valor de 1.
Então:
P(X >= 3) = 1 - P(X <= 2)

Passo 5

Vamos calcular P(X = 0), P(X = 1) e P(X = 2) usando a fórmula da Distribuição Binomial:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde binomnk é o coeficiente binomial.
Calculando cada termo:
  • P(X = 0):
P(X = 0) = binom300 (0,02)^0 (0,98)^30 = 1 times 1 times 0,5404 approx 0,5404
  • P(X = 1):
P(X = 1) = binom301 (0,02)^1 (0,98)^29 = 30 times 0,02 times 0,5513 approx 0,3308
  • P(X = 2):
P(X = 2) = binom302 (0,02)^2 (0,98)^28 = 435 times 0,0004 times 0,5614 approx 0,0977
Somando esses valores:
P(X <= 2) = 0,5404 + 0,3308 + 0,0977 approx 0,9689

Resposta

Então, a probabilidade de rejeitar o lote é:
P(X >= 3) = 1 - 0,9689 = 0,0311
Aproximadamente, a probabilidade de rejeição do lote é 0,0311 ou 3,11%.

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