Em um banco, 0,2 % das transações realizadas são fraudulentas. Um sistema automático de detecção de fraude analisa essas transações com as seguintes características: Se a transação é fraudulenta, o sistema a detecta com 98% de chance.
Se a transação não é fraudulenta, o sistema ainda pode gerar um falso positivo com 1% de chance.
Uma transação foi analisada e o sistema indicou que ela pode ser fraude. Qual é a probabilidade de que essa transação seja realmente fraudulenta? (R: 0,1642 - Teorema de Bayes)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um problema de probabilidade, mais especificamente usando o Teorema de Bayes. A situação é a seguinte: em um banco, só 0,2% das transações são fraudulentas. O sistema automático que verifica fraudes tem duas características importantes:
  • Se a transação é fraudulenta, ele detecta isso com 98% de chance.
  • Se a transação não é fraudulenta, ele pode errar e marcar como fraude com 1% de chance.
Agora, uma transação foi analisada e o sistema indicou que ela pode ser fraude. A pergunta é: qual a probabilidade dessa transação realmente ser fraudulenta?

Passo 2

Primeiro, vamos definir alguns eventos para facilitar:
  • Seja F o evento de a transação ser fraudulenta.
  • Seja neg F o evento de a transação não ser fraudulenta.
  • Seja D o evento de o sistema detectar a transação como fraude.
Sabemos que:
  • P(F) = 0,002 (0,2%)
  • P(neg F) = 1 - P(F) = 0,998 (99,8%)
  • P(D|F) = 0,98 (98%)
  • P(D|neg F) = 0,01 (1%)

Passo 3

Queremos encontrar P(F|D) , ou seja, a probabilidade de a transação ser fraudulenta dado que o sistema marcou como fraude.
Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que diz:
P(F|D) = P(D|F) cdot P(F)P(D)
Mas primeiro, precisamos calcular P(D) , a probabilidade de o sistema detectar uma transação como fraude, seja ela fraudulenta ou não. Isso a gente calcula pela Lei da Probabilidade Total:
P(D) = P(D|F) cdot P(F) + P(D|neg F) cdot P(neg F)
Substituindo os valores:
P(D) = (0,98 cdot 0,002) + (0,01 cdot 0,998) = 0,00196 + 0,00998 = 0,01194

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema de Bayes:
P(F|D) = 0,98 cdot 0,0020,01194 = 0,001960,01194 approx 0,1642

Resposta

A probabilidade de que a transação seja realmente fraudulenta é de aproximadamente 16,42%.

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