Uma empresa recebeu uma proposta para substituir a máquina atual, que tem previsão de mais 4 anos de uso, por um novo modelo.
A máquina atual vale \ 1.000,0 , devendo seu valor diminuir$100 / ano. Os custos de operação são estimados emçãã$ 8.000,0 no próximo ano, com um acréscimo deóé$200 /$ ano.
A nova máquina custa \ 10.000 e deve depreciar no mercado15 % a.a. O custo de operação deve ser deçã$5.000 no primeiro ano e aumentar$ 150 /$ ano.
Supondo TMA de 12%a.a., qual deve ser a decisão da empresa?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Informação sobre a máquina atual:
    • Valor presente (se vendida hoje): \$1.000.
    • Depreciação linear no mercado: diminui \$100 por ano.
    • Custos de operação: \$8.000 no próximo ano (ano 1), aumentando \$200 por ano. Ou seja:
      • Ano 1: \$8.000.
      • Ano 2: \$8.200.
      • Ano 3: \$8.400.
      • Ano 4: \$8.600.
    • Horizonte considerado (vida restante): 4 anos (a máquina atual tem previsão de mais 4 anos de uso).
  • Informação sobre a nova máquina (se comprada agora):
    • Preço de compra: \$10.000 (pago no instante t=0).
    • Depreciação de mercado: 15\% ao ano (ou seja, valor de revenda depois de t anos é 10.000\cdot 0{,}85^{t}).
    • Custos de operação: \$5.000 no primeiro ano, aumentando \$150 por ano. Ou seja:
      • Ano 1: \$5.000.
      • Ano 2: \$5.150.
      • Ano 3: \$5.300.
      • Ano 4: \$5.450.
  • Taxa mínima de atratividade (TMA): 12\% ao ano.
O enunciado pede: qual deve ser a decisão da empresa — manter a máquina atual por mais 4 anos ou substituí‑la agora pela nova? Vou comparar economicamente as duas alternativas no horizonte de 4 anos, trazendo todos os fluxos ao valor presente com a TMA de 12\%.

Passo 2

Explicação do método (passo didático curto): vamos calcular o custo econômico total de cada alternativa expresso em valor presente (PV) ao instante t=0. Para cada alternativa, consideramos:
  • entradas/saídas no tempo t=0 (compra, venda hoje, etc.);
  • custos operacionais nos anos 1 a 4 (descontados ao presente);
  • valor de revenda (salvage) ao final do ano 4 (também descontado ao presente).
A alternativa com menor custo presente é a preferível. Isso é a forma padrão de comparar investimentos de substituição quando o horizonte é comum (4 anos).
Também explico brevemente o desconto: um valor \$X a receber/pagar no ano t tem valor presente \dfrac{X}{(1+0{,}12)^{t}}.

Passo 3

Vou calcular os fatores de desconto para i=12\%:
1{,}12^{1}=1{,}12,\qquad 1{,}12^{2}=1{,}2544,\qquad 1{,}12^{3}=1{,}404928,\qquad 1{,}12^{4}=1{,}57351936.
Os fatores v^{t}=\dfrac{1}{(1{+}i)^{t}} são, aproximadamente:
v^{1}=0{,}892857,\quad v^{2}=0{,}797194,\quad v^{3}=0{,}711780,\quad v^{4}=0{,}635518.

Passo 4

Análise da alternativa A — manter a máquina atual por 4 anos.
Fluxos relevantes:
  • No instante t=0: não se vende a máquina hoje (então não há entrada imediata). (Observação: alternativa contrária — vender agora — será incluída na alternativa de comprar nova, portanto aqui não há entrada em t=0.)
  • Custos operacionais:
    • Ano 1: A_{1}= \$8.000.
    • Ano 2: A_{2}= \$8.200.
    • Ano 3: A_{3}= \$8.400.
    • Ano 4: A_{4}= \$8.600.
  • Valor de revenda ao final do ano 4 (salvage): o valor atual \$1.000 menos 4 anos de \$100/ano: S_{\text{atual, }4}=1.000-4\cdot100=\$600.
Agora trago cada fluxo ao presente usando os fatores v^{t}.
PVs dos custos operacionais:
\begin{aligned} PV_{1}&=8.000\cdot v^{1}=8.000\cdot0{,}892857\approx \$7.142{,}86,\\[4pt] PV_{2}&=8.200\cdot v^{2}=8.200\cdot0{,}797194\approx \$6.536{,}99,\\[4pt] PV_{3}&=8.400\cdot v^{3}=8.400\cdot0{,}711780\approx \$5.978{,}95,\\[4pt] PV_{4}&=8.600\cdot v^{4}=8.600\cdot0{,}635518\approx \$5.465{,}53. \end{aligned}
Somando:
PV_{\text{operação, atual}} \approx 7.142{,}86+6.536{,}99+5.978{,}95+5.465{,}53 \approx \$25.124{,}33.çã
PV do salvage (entrada no fim do ano 4):
PV_{\text{salv, atual}}=600\cdot v^{4}=600\cdot0{,}635518\approx \$381{,}31.
Custo líquido em valor presente de manter a máquina atual (custo = operações menos o que se recebe de revenda):
PW_{\text{manter}} = PV_{\text{operação, atual}} - PV_{\text{salv, atual}} \approx 25.124{,}33 - 381{,}31 \approx \$24.743{,}02.çã
(Interpretação: ao manter a máquina, espera‑se gastar, em termos presentes, cerca de \$24.743{,}02 ao longo dos 4 anos.)]

Passo 5

Análise da alternativa B — substituir agora pela nova máquina.
Fluxos relevantes:
  • No instante t=0: paga‑se a nova máquina \$10.000 e recebe‑se a venda da máquina atual \$1.000. Portanto o desembolso inicial líquido é:
C_{0} = -10.000 + 1.000 = -\$9.000.
(ou seja, custo inicial \$9.000.)
  • Custos operacionais (anos 1 a 4):
    • Ano 1: 5.000.
    • Ano 2: 5.150.
    • Ano 3: 5.300.
    • Ano 4: 5.450.
  • Valor de revenda da nova máquina no fim do ano 4:
    S_{\text{nova, }4}=10.000\cdot 0{,}85^{4}=10.000\cdot0{,}52200625\approx \$5.220{,}06.
Trazer ao presente:
PVs dos custos operacionais:
\begin{aligned} PV_{1}&=5.000\cdot v^{1}=5.000\cdot0{,}892857\approx \$4.464{,}29,\\[4pt] PV_{2}&=5.150\cdot v^{2}=5.150\cdot0{,}797194\approx \$4.105{,}55,\\[4pt] PV_{3}&=5.300\cdot v^{3}=5.300\cdot0{,}711780\approx \$3.772{,}44,\\[4pt] PV_{4}&=5.450\cdot v^{4}=5.450\cdot0{,}635518\approx \$3.463{,}57. \end{aligned}
Somando:
PV_{\text{operação, nova}} \approx 4.464{,}29+4.105{,}55+3.772{,}44+3.463{,}57 \approx \$15.805{,}85.çã
PV do salvage da nova máquina (entrada no fim do ano 4):
PV_{\text{salv, nova}} = 5.220{,}06\cdot v^{4} \approx 5.220{,}06\cdot0{,}635518 \approx \$3.317{,}44.
Agora o custo total em valor presente da alternativa de comprar a nova máquina é:
PW_{\text{trocar}} = 9.000 + PV_{\text{operação, nova}} - PV_{\text{salv, nova}}.çã
(Substituímos o desembolso inicial líquido \$9.000 como custo no presente.)
Numericamente:
PW_{\text{trocar}} \approx 9.000 + 15.805{,}85 - 3.317{,}44 \approx \$21.488{,}41.
(Interpretação: trocar agora implica um custo presente de cerca de \$21.488{,}41 ao longo do período de 4 anos.)]

Passo 6

Comparação direta:
  • Custo presente de manter a máquina atual: PW_{\text{manter}}\approx \$24.743{,}02.
  • Custo presente de trocar pela nova máquina: PW_{\text{trocar}}\approx \$21.488{,}41.
A alternativa com menor custo presente é comprar a nova máquina, pois
PW_{\text{trocar}} < PW_{\text{manter}},
e a economia aproximada é
24.743{,}02 - 21.488{,}41 \approx \$3.254{,}61
em valor presente favorável à troca.

Resposta

Trocar a máquina atual pela nova (substituição agora).

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