Calcule a integral:
\int_{0}^{2} \frac{t^{2}}{\sqrt{4-t^{2}}} d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{2} \frac{t^{2}}{\sqrt{4-t^{2}}}\,dt.
Informações dadas:
  • A função integranda é \dfrac{t^{2}}{\sqrt{4-t^{2}}}.
  • O intervalo de integração é de t=0 até t=2.
    Objetivo: encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Escolher uma substituição adequada. Quando aparece uma expressão do tipo \sqrt{a^{2}-t^{2}} é muito comum usar uma substituição trigonométrica que elimina a raiz. Aqui usemos
t = 2\sin\theta.
Justificativa rápida: com t=2\sin\theta obtemos \sqrt{4-t^{2}}=\sqrt{4-4\sin^{2}\theta}=2\cos\theta, que é mais simples. Agora calculemos também dt:
dt = 2\cos\theta\,d\theta.

Passo 3

Converter a integranda com a substituição. Primeiro escrevemos t^{2} e \sqrt{4-t^{2}} em \theta:
t^{2} = (2\sin\theta)^{2}=4\sin^{2}\theta, \qquad \sqrt{4-t^{2}} = 2\cos\theta, \qquad dt = 2\cos\theta\,d\theta.
Substituindo na integral:
\frac{t^{2}}{\sqrt{4-t^{2}}}\,dt = \frac{4\sin^{2}\theta}{2\cos\theta}\cdot(2\cos\theta\,d\theta) =4\sin^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Mudar os limites de integração de t para \theta. Quando t=0:
0 = 2\sin\theta \implies \sin\theta=0 \implies \theta=0.
Quando t=2:
2 = 2\sin\theta \implies \sin\theta=1 \implies \theta=\frac{\pi}{2}.
Portanto a integral torna-se
\int_{0}^{2} \frac{t^{2}}{\sqrt{4-t^{2}}}\,dt = \int_{0}^{\pi/2} 4\sin^{2}\theta\,d\theta =4\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\,d\theta.

Passo 5

Avaliar \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\,d\theta. Use a identidade de duplicação:
\sin^{2}\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Assim
4\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}\theta\,d\theta =4\int_{0}^{\pi/2}\frac{1-\cos(2\theta)}{2}\,d\theta =2\int_{0}^{\pi/2}\bigl(1-\cos(2\theta)\bigr)\,d\theta.
Calcule a integral:
2\left[\theta - \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_{0}^{\pi/2} =2\left(\left(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\sin\pi\right)-\left(0-\frac{1}{2}\sin0\right)\right).
Como \sin\pi=0 e \sin0=0, isso reduz para
2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi.

Resposta

\pi

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