Uma equipe de marketing quer avaliar a eficácia de duas campanhas publicitárias distintas para promover um novo produto. No Grupo A, composto por 120 pessoas, 72 demonstraram interesse em comprar o produto após a campanha. No Grupo B, com 150 pessoas, 78 mostraram interesse em comprar após a campanha. Teste, ao nível de significância de 5 \%, se há uma diferença significativa entre as proporções de interesse em compra entre as duas campanhas. Qual é a conclusão? ( Z_{\mathrm{tab}}=1,96 )

Passo 1

O enunciado dá duas amostras independentes e pede testar se há diferença entre as proporções de interesse nas duas campanhas, ao nível de significância 5\%. Dados fornecidos:
  • Grupo A: n_1=120 e x_1=72 pessoas interessadas.
  • Grupo B: n_2=150 e x_2=78 pessoas interessadas.
  • Nível de significância: \alpha=5\%.
  • Valor crítico fornecido: Z_{\mathrm{tab}}=1,96.
O que se pede: decidir, ao nível \alpha=5\%, se as proporções de interesse em compra são significativamente diferentes entre os dois grupos.

Passo 2

Definimos as proporções amostrais e as hipóteses do teste:
  • Proporções amostrais: \hat p_1=\frac{x_1}{n_1}=\frac{72}{120},\qquad \hat p_2=\frac{x_2}{n_2}=\frac{78}{150}.
  • Hipóteses (teste bicaudal): H_0:\; p_1=p_2
H_a:\; p_1\neq p_2
Explicação rápida: sob H_0 assumimos que as duas populações têm a mesma proporção verdadeira p; por isso, na construção do erro-padrão usamos uma proporção combinada (pool).

Passo 3

Calculemos as proporções amostrais numéricas:
\hat p_1=\frac{72}{120}=0,6,
\hat p_2=\frac{78}{150}=0,52.
A diferença amostral é
\hat p_1-\hat p_2=0,6-0,52=0,08.

Passo 4

Sob H_0 usamos a proporção combinada (pooled) \hat p. Fórmula e definição:
\hat p=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2},
onde x_1+x_2 é o total de sucessos nas duas amostras e n_1+n_2 é o total combinado de observações. Calculando:
\hat p=\frac{72+78}{120+150}=\frac{150}{270}=\frac{5}{9}\approx 0,5556.

Passo 5

Agora a fórmula do erro-padrão (SE) para a diferença de proporções usando \hat p é:
\mathrm{SE}=\sqrt{\hat p(1-\hat p)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}.
Expliquei: \hat p(1-\hat p) é a variância de uma Bernoulli sob a proporção combinada; a soma \frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2} vem da variância da diferença de duas médias/proporções independentes.
Agora plugando os números:
\hat p(1-\hat p)=\frac{5}{9}\left(1-\frac{5}{9}\right)=\frac{5}{9}\cdot\frac{4}{9}=\frac{20}{81}\approx 0,2469136,
\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}=\frac{1}{120}+\frac{1}{150}=\frac{150+120}{120\cdot150}=\frac{270}{18000}=0,015.
Multiplicando:
\hat p(1-\hat p)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)\approx 0,2469136\times 0,015=0,0037037037.
Tomando a raiz:
\mathrm{SE}\approx\sqrt{0,0037037037}\approx 0,06084.

Passo 6

A estatística de teste z para a diferença de proporções é:
z=\frac{\hat p_1-\hat p_2}{\mathrm{SE}}.
Substituindo:
z=\frac{0,08}{0,06084}\approx 1,315.

Passo 7

Regra de decisão (teste bicaudal): rejeitamos H_0 se |z|>Z_{\mathrm{tab}}. Aqui Z_{\mathrm{tab}}=1,96.
Comparando:
|z|\approx 1,315 < 1,96,
portanto não rejeitamos H_0.

Passo 8

Verificação das condições de aproximação normal: precisamos que n_i\hat p e n_i(1-\hat p) sejam maiores que 5 (usando a pooled \hat p):
n_1\hat p=120\times 0,5556\approx 66,7,\quad n_1(1-\hat p)\approx 53,3,
n_2\hat p=150\times 0,5556\approx 83,3,\quad n_2(1-\hat p)\approx 66,7.
Todas são bem maiores que 5, então a aproximação normal é adequada.

Resposta

Não rejeitamos H_0. Estatística de teste z\approx 1,315 (< 1,96); não há evidência, ao nível de 5\%, de diferença significativa entre as proporções de interesse nos dois grupos.

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