Questão extra ( 2 pts) De 100 até 1000 , quantos números são divisíveis por 7 ou por 11 ?
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos números, no intervalo de
até
(incluindo as extremidades), são divisíveis por
ou por
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Intervalo: de
até (inclusive). - Divisores de interesse:
e .
O objetivo final é obter o número total de inteiros nesse intervalo que sejam múltiplos deou múltiplos de .
Passo 2
Ideia matemática que vamos usar (explicação didática): quando queremos contar múltiplos de um número
dentro de um intervalo
, uma fórmula prática é:
O que essa fórmula faz:
dá quantos múltiplos de
existem desde
até
;
dá quantos múltiplos de
existem antes de
. A diferença fica só com os múltiplos dentro de
.
Além disso, para contar múltiplos de “ou” (múltiplos de ou de
) usamos o princípio da inclusão-exclusão:
Além disso, para contar múltiplos de “ou” (múltiplos de
Aqui
porque
e
são primos entre si.
Passo 3
Contar múltiplos de
em
usando a fórmula:
Calculando:
, logo
.
Também , logo
.
Portanto a quantidade de múltiplos de é
Também
Portanto a quantidade de múltiplos de
Passo 4
Contar múltiplos de
em
:
Calculando:
, então
.
E , logo
.
Assim a quantidade de múltiplos de é
E
Assim a quantidade de múltiplos de
Passo 5
Contar múltiplos de
em
(esses são os números contados duas vezes se somarmos apenas os dois casos):
Calculando:
, então
.
E , logo
.
Portanto a quantidade de múltiplos de é
E
Portanto a quantidade de múltiplos de
Passo 6
Aplicar inclusão-exclusão para obter o total de números divisíveis por
ou por
:
Explicação curta: somou-se os múltiplos de
e os múltiplos de
, e subtraiu-se os múltiplos de
para corrigir a dupla contagem.
Passo 7
Cheque rápido de sanidade (opcional): o intervalo tem
números; a densidade aproximada de múltiplos é
. Multiplicando
, que é próximo de
, então o resultado faz sentido.