Questão extra ( 2 pts) De 100 até 1000 , quantos números são divisíveis por 7 ou por 11 ?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos números, no intervalo de 100 até 1000 (incluindo as extremidades), são divisíveis por 7 ou por 11.
Informações relevantes fornecidas:
  • Intervalo: de 100 até 1000 (inclusive).
  • Divisores de interesse: 7 e 11.
    O objetivo final é obter o número total de inteiros nesse intervalo que sejam múltiplos de 7 ou múltiplos de 11.

Passo 2

Ideia matemática que vamos usar (explicação didática): quando queremos contar múltiplos de um número d dentro de um intervalo [a,b], uma fórmula prática é:
\text{quantidade}=\left\lfloor\frac{b}{d}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{a-1}{d}\right\rfloor.
O que essa fórmula faz: \left\lfloor\frac{b}{d}\right\rfloor dá quantos múltiplos de d existem desde 1 até b; \left\lfloor\frac{a-1}{d}\right\rfloor dá quantos múltiplos de d existem antes de a. A diferença fica só com os múltiplos dentro de [a,b].
Além disso, para contar múltiplos de “ou” (múltiplos de 7 ou de 11) usamos o princípio da inclusão-exclusão:
\#(7\\ \text{ou}\\\ 11)=\#(7)+\#(11)-\#( \mathrm{múltiplos\\ de\\ }\mathrm{lcm}(7,11) ).ú
Aqui \mathrm{lcm}(7,11)=77 porque 7 e 11 são primos entre si.

Passo 3

Contar múltiplos de 7 em [100,1000] usando a fórmula:
\left\lfloor\frac{1000}{7}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{100-1}{7}\right\rfloor.
Calculando: \dfrac{1000}{7}\approx142{,}857\ldots, logo \left\lfloor\dfrac{1000}{7}\right\rfloor=142.
Também \dfrac{99}{7}=14{,}142\ldots, logo \left\lfloor\dfrac{99}{7}\right\rfloor=14.
Portanto a quantidade de múltiplos de 7 é
142-14=128.

Passo 4

Contar múltiplos de 11 em [100,1000]:
\left\lfloor\frac{1000}{11}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{99}{11}\right\rfloor.
Calculando: \dfrac{1000}{11}\approx90{,}909\ldots, então \left\lfloor\dfrac{1000}{11}\right\rfloor=90.
E \dfrac{99}{11}=9, logo \left\lfloor\dfrac{99}{11}\right\rfloor=9.
Assim a quantidade de múltiplos de 11 é
90-9=81.

Passo 5

Contar múltiplos de \mathrm{lcm}(7,11)=77 em [100,1000] (esses são os números contados duas vezes se somarmos apenas os dois casos):
\left\lfloor\frac{1000}{77}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{99}{77}\right\rfloor.
Calculando: \dfrac{1000}{77}\approx12{,}987\ldots, então \left\lfloor\dfrac{1000}{77}\right\rfloor=12.
E \dfrac{99}{77}=1{,}2857\ldots, logo \left\lfloor\dfrac{99}{77}\right\rfloor=1.
Portanto a quantidade de múltiplos de 77 é
12-1=11.

Passo 6

Aplicar inclusão-exclusão para obter o total de números divisíveis por 7 ou por 11:
128+81-11=198.
Explicação curta: somou-se os múltiplos de 7 e os múltiplos de 11, e subtraiu-se os múltiplos de 77 para corrigir a dupla contagem.

Passo 7

Cheque rápido de sanidade (opcional): o intervalo tem 1000-100+1=901 números; a densidade aproximada de múltiplos é \dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{77}=\dfrac{17}{77}\approx0{,}2208. Multiplicando 901\cdot0{,}2208\approx199, que é próximo de 198, então o resultado faz sentido.

Resposta

198

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