Uma empresa siderúrgica utiliza dois insumos principais em sua produção: mão de obra (L) e capital (K). A função de produção é dada por:
Em que Q é o nível de produção (em toneladas de aço), L é a quantidade de mão de obra, e K é o capital utilizado.
Os custos dos insumos são:
- Custo unitário da mão de obra (w): 20 por unidade.
- Custo unitário do capital ®: 40 por unidade.
O orçamento total da empresa para insumos é
.
Determine a combinação ótima de insumos (
e
) para produzir a maior quantidade possível de aço, respeitando o orçamento disponível.
Os custos dos insumos são:
O orçamento total da empresa para insumos é
Determine a combinação ótima de insumos (
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos uma função de produção tipo Cobb-Douglas:
onde L é mão de obra e K é capital. Cada unidade de L custa
e cada unidade de K custa
. O orçamento total é
O que a gente precisa é encontrar a combinação de
e
que maximize
respeitando esse orçamento. O conteúdo aqui é otimização com restrição orçamentária, usando a condição de equilíbrio marginal (MRTS = razão de preços).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é MRTS (Marginal Rate of Technical Substitution).
Para uma função ,
Para uma função
onde
A condição de ótimo (quando otimizamos com orçamento) é
Passo 3
Vamos achar os produtos marginais:
Passo 4
Agora a condição de ótimo:
Logo
Passo 5
Substituímos na restrição orçamentária
:
E aí
Resposta
A combinação ótima de insumos é