Uma empresa siderúrgica utiliza dois insumos principais em sua produção: mão de obra (L) e capital (K). A função de produção é dada por:
Q=40 L^0.5 K^0.5
Em que Q é o nível de produção (em toneladas de aço), L é a quantidade de mão de obra, e K é o capital utilizado.
Os custos dos insumos são:
  • Custo unitário da mão de obra (w): 20 por unidade.
  • Custo unitário do capital ®: 40 por unidade.
    O orçamento total da empresa para insumos é C=2400 C=2400.
    Determine a combinação ótima de insumos ( L e K) para produzir a maior quantidade possível de aço, respeitando o orçamento disponível.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos uma função de produção tipo Cobb-Douglas:
Q = 40,L^0.5K^0.5
onde L é mão de obra e K é capital. Cada unidade de L custa 20L + 40K = 2400 e cada unidade de K custa . O orçamento total é
O que a gente precisa é encontrar a combinação de e que maximize respeitando esse orçamento. O conteúdo aqui é otimização com restrição orçamentária, usando a condição de equilíbrio marginal (MRTS = razão de preços).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é MRTS (Marginal Rate of Technical Substitution).
Para uma função MRTSL,K = MPLMPK, ,
MPL = partial Qpartial L, MPK = partial Qpartial K
onde
MPLw = MPKr Long<=ftrightarrow MPLMPK = wr
A condição de ótimo (quando otimizamos com orçamento) é

Passo 3

Vamos achar os produtos marginais:
MPL = partialpartial Ll(40L^0.5K^0.5r) = 40cdot0.5,L^-0.5K^0.5 =20,raizKraizL,
MPK = partialpartial Kl(40L^0.5K^0.5r) =20,raizLraizK

Passo 4

Agora a condição de ótimo:
MPLMPK = 20,raizKraizL20,raizLraizK = KL ;stackrel!=;wr = 2040 =0.5
Logo
KL = 0.5 Longrightarrow K = 0.5,L

Passo 5

Substituímos na restrição orçamentária 20L + 40l(0.5Lr) = 2400 ;Longrightarrow; 20L + 20L = 2400 ;Longrightarrow; 40L = 2400 ;Longrightarrow; L = 60 :
K = 0.5 times 60 = 30
E aí

Resposta

A combinação ótima de insumos é
boxedL = 60, K = 30

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