Na empresa Sunflowers Roupas, o diretor de planejamento estabeleceu como objetivo estratégico prever as vendas anuais das novas lojas com base na quantidade de consumidores identificados por perfil que residem a até 30 minutos de distância de cada unidade. Para analisar essa relação, foram consideradas as seguintes variáveis:
: quantidade de consumidores identificados com base nos perfis (em milhões) que habitam dentro de um perímetro fixo ao redor da loja; e
: vendas anuais da loja (em milhões de dólares). Os dados correspondentes a essas variáveis foram coletados a partir de uma amostra de 14 lojas e apresentados na tabela a seguir.
Loja
Consumidores (milhões)
Vendas Anuais (milhões de dólares)
Loja
Consumidores (milhões)
Vendas Anuais (milhões de dólares)
1
3,7
5,7
8
3,1
4,7
2
3,6
5,9
9
3,2
6,1
3
2,8
6,7
10
3,5
4,9
4
5,6
9,5
11
5,2
10,7
5
3,3
5,4
12
4,6
7,6
6
2,2
3,5
13
5,8
11,8
7
3,3
6,2
14
3,0
4,1
(a) Construa o gráfico de dispersão. Ajuste um modelo de regressão linear simples, trace a reta de regressão sobre o diagrama e interprete os coeficientes e o
ajustado, comentando a proporção da variabilidade de
explicada por
e a qualidade do ajuste.
(b) Use o modelo ajustado para prever as vendas anuais de uma nova loja com
milhões de consumidores no raio de 30 minutos (por exemplo,
). Apresente a previsão pontual comentando a precisão prática do resultado.
| Loja | Consumidores (milhões) | Vendas Anuais (milhões de dólares) | Loja | Consumidores (milhões) | Vendas Anuais (milhões de dólares) |
| 1 | 3,7 | 5,7 | 8 | 3,1 | 4,7 |
| 2 | 3,6 | 5,9 | 9 | 3,2 | 6,1 |
| 3 | 2,8 | 6,7 | 10 | 3,5 | 4,9 |
| 4 | 5,6 | 9,5 | 11 | 5,2 | 10,7 |
| 5 | 3,3 | 5,4 | 12 | 4,6 | 7,6 |
| 6 | 2,2 | 3,5 | 13 | 5,8 | 11,8 |
| 7 | 3,3 | 6,2 | 14 | 3,0 | 4,1 |
(b) Use o modelo ajustado para prever as vendas anuais de uma nova loja com
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais:
- (a) Construir o gráfico de dispersão dos dados
, ajustar um modelo de regressão linear simples , traçar a reta de regressão sobre o diagrama e interpretar os coeficientes e o ajustado, comentando a proporção da variabilidade de explicada por e a qualidade do ajuste. - (b) Usar o modelo ajustado para prever as vendas anuais de uma nova loja com
(por exemplo, ) e comentar a precisão prática da previsão.
Dados da amostra (lista de pares
, em milhões):
Informações úteis que vou usar a seguir (não resolvo nada aqui, só enumero):
, vou precisar de
e das fórmulas padrão da regressão linear simples para estimar os coeficientes, calcular
e montar intervalos de previsão.
Passo 2
Cálculo das quantidades básicas (soma, média, etc.) e ensino das fórmulas.
Primeiro eu apresento as fórmulas que usarei e explico o que cada parte significa:
- A média de
e de são:
Elas são os “centros” das observações em
e em
.
- As somas de quadrados úteis:
- As estimativas dos coeficientes da reta de regressão (método dos mínimos quadrados):
Aqui
é a inclinação (quanto
aumenta, em média, quando
aumenta uma unidade) e
é o intercepto (valor previsto de
quando
, nem sempre com interpretação prática).
Agora computo os números a partir dos dados (cálculos aritméticos):
Somas calculadas a partir da tabela:
e
.
Médias:
Calculando
e
com as fórmulas acima:
Agora a inclinação e o intercepto (explico: a inclinação diz quantos milhões de dólares a mais, em média, a loja vende por cada milhão extra de consumidores no raio; o intercepto é o valor previsto quando
, que muitas vezes não é plausível mas é parte do modelo):
Portanto a reta ajustada (equação da previsão pontual) é
Como traçar a reta no gráfico de dispersão (prático para a prova): escolha dois valores de
(por exemplo
e
ou as extremidades observadas) calcule
com a fórmula acima e desenhe a reta passando por esses dois pontos. Para os dados, se
(menor observado) então
; se
(maior observado) então
. Traçando a linha entre esses dois pontos você verá a reta sobre o diagrama.
Passo 3
Avaliação do ajuste:
,
ajustado, erro padrão residual e interpretação.
Primeiro explico o que são essas medidas:
-
(soma total de quadrados) mede a variabilidade total de :
-
(soma de quadrados da regressão) mede a variabilidade explicada pelo modelo:
-
(soma de quadrados dos resíduos) mede a variabilidade não explicada:
- O coeficiente de determinação
é
que indica a fração da variabilidade total de
explicada por
.
- O
ajustado corrige pelo número de parâmetros e pelo tamanho amostral:
pois aqui temos
(intercepto e inclinação) e graus de liberdade
.
Agora os cálculos numéricos:
Interpretação didática e prática:
- O valor estimado de
significa que, em média, cada acréscimo de milhão de consumidores no raio de 30 minutos está associado a um aumento de cerca de milhões nas vendas anuais da loja, mantendo o modelo linear. - O intercepto
significa que o modelo prevê vendas negativas quando ; isso não tem interpretação prática real (não esperamos usar o modelo fora da faixa dos dados), mas é necessário para a equação linear. - O
indica que cerca de da variabilidade das vendas nos dados é explicada pela variação em segundo o modelo linear. Isso é um ajuste bastante bom: a maior parte da variabilidade em é capturada por via essa reta. - O
e o erro-padrão residual ajudam a entender a dispersão dos pontos em torno da reta: o erro-padrão da estimativa (resíduo) é
Isso significa que, tipicamente, as observações individuais de
ficam a cerca de
milhão da reta ajustada — uma medida direta da incerteza típica de previsão para uma nova loja.
Passo 4
Previsão para
: cálculo da previsão pontual e avaliação da precisão prática (ensino e conta passo a passo).
A previsão pontual (valor ajustado) em
é
Faço a conta:
Assim a previsão pontual é
(milhões de dólares).
Agora explico como avaliar a precisão prática dessa previsão:
- Para prever uma nova observação individual, o erro padrão da previsão é
onde
é o erro-padrão residual calculado antes e
é a soma de quadrados de
(já calculada).
- Para prever o valor médio de
condicional em (isto é, a média populacional), o erro padrão é menor:
Cálculos numéricos com
,
,
,
,
:
Para dar uma noção prática, podemos construir intervalos de confiança/ previsão. Para nível de confiança de
usamos
-quantil com
graus de liberdade:
.
- Intervalo de previsão de
para uma nova observação individual em :
ou seja aproximadamente
milhões de dólares.
- Intervalo de
para a média condicional :
ou seja aproximadamente
milhões de dólares.
Interpretação prática da precisão:
- A previsão pontual de vendas para
é cerca de milhões. - Para estimar a média verdadeira de lojas com
a incerteza é moderada: intervalo de estimado milhões — relativamente preciso. - Para prever a venda de uma loja específica (observação individual), a incerteza é maior: intervalo de
estimado milhões — aí a variação individual em torno da reta é significativa (cerca de milhões). Isso decorre do erro-padrão residual cerca de milhão.
Passo 5
Resumo interpretativo final e orientação prática (motivação e confiança):
- O modelo linear ajustado
captura bem a relação entre número de consumidores identificados e vendas: indica que cerca de da variabilidade das vendas é explicada por . Isso significa que o número de consumidores no raio é um bom preditor das vendas. - A inclinação positiva e relativamente alta (≈
) tem interpretação direta: cada milhão adicional de consumidores identificados tende a associar-se a um aumento de pouco mais de milhões nas vendas anuais, em média. - A previsão pontual para
é milhões. Se você quer estimar a média de lojas com esse , o intervalo de é aproximadamente milhões — relativamente estreito. Se a preocupação é prever uma loja específica, o intervalo de previsão é bem mais largo milhões, refletindo a variabilidade individual não explicada pelo modelo. - Conclusão prática: o ajuste é bom para previsão de tendência média e para comparar locais; para decidir sobre investimentos que dependam de uma previsão individual muito precisa, leve em conta a incerteza individual (±≈$2{,}26 milhões para 95% de confiança).
Resposta
(a) Reta ajustada:
(aprox.
da variabilidade de
explicada por
); erro-padrão residual
milhão (ajuste bom para a tendência média).
(b) Previsão pontual para :
milhões de dólares. Intervalo de
para a média: aproximadamente
milhões. Intervalo de previsão de
para uma nova loja individual: aproximadamente
milhões.
(b) Previsão pontual para