Na empresa Sunflowers Roupas, o diretor de planejamento estabeleceu como objetivo estratégico prever as vendas anuais das novas lojas com base na quantidade de consumidores identificados por perfil que residem a até 30 minutos de distância de cada unidade. Para analisar essa relação, foram consideradas as seguintes variáveis: X : quantidade de consumidores identificados com base nos perfis (em milhões) que habitam dentro de um perímetro fixo ao redor da loja; e Y : vendas anuais da loja (em milhões de dólares). Os dados correspondentes a essas variáveis foram coletados a partir de uma amostra de 14 lojas e apresentados na tabela a seguir.
Loja Consumidores (milhões) Vendas Anuais (milhões de dólares) Loja Consumidores (milhões) Vendas Anuais (milhões de dólares)
1 3,7 5,7 8 3,1 4,7
2 3,6 5,9 9 3,2 6,1
3 2,8 6,7 10 3,5 4,9
4 5,6 9,5 11 5,2 10,7
5 3,3 5,4 12 4,6 7,6
6 2,2 3,5 13 5,8 11,8
7 3,3 6,2 14 3,0 4,1
(a) Construa o gráfico de dispersão. Ajuste um modelo de regressão linear simples, trace a reta de regressão sobre o diagrama e interprete os coeficientes e o \mathbf{R}^{\mathbf{2}} ajustado, comentando a proporção da variabilidade de Y explicada por X e a qualidade do ajuste.
(b) Use o modelo ajustado para prever as vendas anuais de uma nova loja com X=X_{0} milhões de consumidores no raio de 30 minutos (por exemplo, X_{0}=3,5 ). Apresente a previsão pontual comentando a precisão prática do resultado.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  1. (a) Construir o gráfico de dispersão dos dados (X,Y), ajustar um modelo de regressão linear simples Y=\beta_0+\beta_1 X+\varepsilon, traçar a reta de regressão sobre o diagrama e interpretar os coeficientes e o R^2 ajustado, comentando a proporção da variabilidade de Y explicada por X e a qualidade do ajuste.
  2. (b) Usar o modelo ajustado para prever as vendas anuais de uma nova loja com X=X_0 (por exemplo, X_0=3{,}5) e comentar a precisão prática da previsão.
Dados da amostra (lista de pares (X,Y), em milhões):
\begin{array}{ll} (3{,}7,\;5{,}7), & (3{,}6,\;5{,}9),\\\ (2{,}8,\;6{,}7), & (5{,}6,\;9{,}5),\\\ (3{,}3,\;5{,}4), & (2{,}2,\;3{,}5),\\\ (3{,}3,\;6{,}2), & (3{,}1,\;4{,}7),\\\ (3{,}2,\;6{,}1), & (3{,}5,\;4{,}9),\\\ (5{,}2,\;10{,}7), & (4{,}6,\;7{,}6),\\\ (5{,}8,\;11{,}8), & (3{,}0,\;4{,}1). \end{array}
Informações úteis que vou usar a seguir (não resolvo nada aqui, só enumero): n=14, vou precisar de \sum X,\sum Y,\sum X^2,\sum Y^2,\sum XY e das fórmulas padrão da regressão linear simples para estimar os coeficientes, calcular R^2 e montar intervalos de previsão.

Passo 2

Cálculo das quantidades básicas (soma, média, etc.) e ensino das fórmulas.
Primeiro eu apresento as fórmulas que usarei e explico o que cada parte significa:
  • A média de X e de Y são:
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i,\qquad \bar{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i.
Elas são os “centros” das observações em X e em Y.
  • As somas de quadrados úteis:
S_{XX}=\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2=\sum X_i^2-\frac{(\sum X_i)^2}{n},
S_{XY}=\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})=\sum X_iY_i-\frac{(\sum X_i)(\sum Y_i)}{n}.
S_{XX} mede a variabilidade de X e S_{XY} mede a covariabilidade entre X e Y.
  • As estimativas dos coeficientes da reta de regressão (método dos mínimos quadrados):
\hat{\beta}_1=\frac{S_{XY}}{S_{XX}},\qquad \hat{\beta}_0=\bar{Y}-\hat{\beta}_1\bar{X}.
Aqui \hat{\beta}_1 é a inclinação (quanto Y aumenta, em média, quando X aumenta uma unidade) e \hat{\beta}_0 é o intercepto (valor previsto de Y quando X=0, nem sempre com interpretação prática).
Agora computo os números a partir dos dados (cálculos aritméticos):
Somas calculadas a partir da tabela:
\sum X = 52{,}9,\qquad \sum Y = 92{,}8,
\sum X^2 = 215{,}41,\qquad \sum Y^2 = 693{,}9,\qquad \sum XY = 382{,}85,
e n=14.
Médias:
\bar{X}=\frac{52{,}9}{14}=3{,}778571\\ (\text{aprox. }3{,}7786),
\bar{Y}=\frac{92{,}8}{14}=6{,}628571\\ (\text{aprox. }6{,}6286).
Calculando S_{XX} e S_{XY} com as fórmulas acima:
S_{XX}=\sum X^2-\frac{(\sum X)^2}{n}=215{,}41-\frac{52{,}9^2}{14}=15{,}523571\\ (\text{aprox. }15{,}5236),
S_{XY}=\sum XY-\frac{(\sum X)(\sum Y)}{n}=382{,}85-\frac{52{,}9\cdot 92{,}8}{14}=32{,}197714\\ (\text{aprox. }32{,}1977).
Agora a inclinação e o intercepto (explico: a inclinação diz quantos milhões de dólares a mais, em média, a loja vende por cada milhão extra de consumidores no raio; o intercepto é o valor previsto quando X=0, que muitas vezes não é plausível mas é parte do modelo):
\hat{\beta}_1=\frac{S_{XY}}{S_{XX}}=\frac{32{,}197714}{15{,}523571}\approx 2{,}0743,
\hat{\beta}_0=\bar{Y}-\hat{\beta}_1\bar{X}=6{,}628571-2{,}0743\cdot 3{,}778571\approx -1{,}2092.
Portanto a reta ajustada (equação da previsão pontual) é
\hat{Y}=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 X \approx -1{,}2092 + 2{,}0743\,X.
Como traçar a reta no gráfico de dispersão (prático para a prova): escolha dois valores de X (por exemplo X=\bar{X} e X=\bar{X}\pm 1 ou as extremidades observadas) calcule \hat{Y} com a fórmula acima e desenhe a reta passando por esses dois pontos. Para os dados, se X=2{,}2 (menor observado) então \hat{Y}\approx -1{,}2092+2{,}0743\cdot 2{,}2\approx 3{,}36; se X=5{,}8 (maior observado) então \hat{Y}\approx -1{,}2092+2{,}0743\cdot 5{,}8\approx 10{,}85. Traçando a linha entre esses dois pontos você verá a reta sobre o diagrama.

Passo 3

Avaliação do ajuste: R^2, R^2 ajustado, erro padrão residual e interpretação.
Primeiro explico o que são essas medidas:
  • SST (soma total de quadrados) mede a variabilidade total de Y:
SST=\sum (Y_i-\bar{Y})^2=\sum Y^2-\frac{(\sum Y)^2}{n}.
  • SSR (soma de quadrados da regressão) mede a variabilidade explicada pelo modelo:
SSR=\hat{\beta}_1 S_{XY}.
  • SSE (soma de quadrados dos resíduos) mede a variabilidade não explicada:
SSE=SST-SSR.
  • O coeficiente de determinação R^2 é
R^2=\frac{SSR}{SST},
que indica a fração da variabilidade total de Y explicada por X.
  • O R^2 ajustado corrige R^2 pelo número de parâmetros e pelo tamanho amostral:
R^2_{\text{ajust}}=1-(1-R^2)\frac{n-1}{n-2},
pois aqui temos p=2 (intercepto e inclinação) e graus de liberdade n-2.
Agora os cálculos numéricos:
SST=\sum Y^2-\frac{(\sum Y)^2}{n}=693{,}9-\frac{92{,}8^2}{14}=78{,}768571\\ (\text{aprox. }78{,}7686).
SSR=\hat{\beta}_1 S_{XY}\approx 2{,}0743\cdot 32{,}197714\approx 66{,}7775.
SSE=SST-SSR\approx 78{,}7686-66{,}7775\approx 11{,}9911.
R^2=\frac{SSR}{SST}\approx \frac{66{,}7775}{78{,}7686}\approx 0{,}8477\\ (\text{aprox. }84{,}8\%).
R^2_{\text{ajust}}=1-(1-R^2)\frac{n-1}{n-2}=1-(1-0{,}8477)\frac{13}{12}\approx 0{,}8350\\ (\text{aprox. }83{,}5\%).
Interpretação didática e prática:
  • O valor estimado de \hat{\beta}_1\approx 2{,}0743 significa que, em média, cada acréscimo de 1 milhão de consumidores no raio de 30 minutos está associado a um aumento de cerca de \$2{,}074 milhões nas vendas anuais da loja, mantendo o modelo linear.
  • O intercepto \hat{\beta}_0\approx -1{,}2092 significa que o modelo prevê vendas negativas quando X=0; isso não tem interpretação prática real (não esperamos usar o modelo fora da faixa dos dados), mas é necessário para a equação linear.
  • O R^2_{\text{ajust}}\approx 0{,}835 indica que cerca de 83{,}5\% da variabilidade das vendas Y nos dados é explicada pela variação em X segundo o modelo linear. Isso é um ajuste bastante bom: a maior parte da variabilidade em Y é capturada por X via essa reta.
  • O SSE e o erro-padrão residual ajudam a entender a dispersão dos pontos em torno da reta: o erro-padrão da estimativa (resíduo) é
s=\sqrt{\frac{SSE}{n-2}}=\sqrt{\frac{11{,}9911}{12}}\approx 0{,}9996\\ (\text{aprox. }1{,}00\\ \text{milhão de dólares}).ãó
Isso significa que, tipicamente, as observações individuais de Y ficam a cerca de \$1{,}0 milhão da reta ajustada — uma medida direta da incerteza típica de previsão para uma nova loja.

Passo 4

Previsão para X_0=3{,}5: cálculo da previsão pontual e avaliação da precisão prática (ensino e conta passo a passo).
A previsão pontual (valor ajustado) em X_0 é
\hat{Y}_0=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 X_0\approx -1{,}2092 + 2{,}0743\cdot 3{,}5.
Faço a conta:
2{,}0743\cdot 3{,}5 \approx 7{,}26005,\qquad \hat{Y}_0\approx -1{,}2092+7{,}26005\approx 6{,}0509.
Assim a previsão pontual é \hat{Y}_0\approx 6{,}05 (milhões de dólares).
Agora explico como avaliar a precisão prática dessa previsão:
  • Para prever uma nova observação individual, o erro padrão da previsão é
\text{se}_{\text{pred}}=s\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{(X_0-\bar{X})^2}{S_{XX}}},
onde s é o erro-padrão residual calculado antes e S_{XX} é a soma de quadrados de X (já calculada).
  • Para prever o valor médio de Y condicional em X_0 (isto é, a média populacional), o erro padrão é menor:
\text{se}_{\text{mean}}=s\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(X_0-\bar{X})^2}{S_{XX}}}.
Cálculos numéricos com X_0=3{,}5, s\approx 0{,}9996, \bar{X}\approx 3{,}7786, S_{XX}\approx 15{,}5236, n=14:
X_0-\bar{X}=3{,}5-3{,}778571\approx -0{,}278571,\qquad (X_0-\bar{X})^2\approx 0{,}0776.
\frac{(X_0-\bar{X})^2}{S_{XX}}\approx \frac{0{,}0776}{15{,}5236}\approx 0{,}0050.
\text{se}_{\text{pred}}=0{,}9996\sqrt{1+\frac{1}{14}+0{,}0050}\approx 0{,}9996\sqrt{1{,}07643}\approx 1{,}0376.
\text{se}_{\text{mean}}=0{,}9996\sqrt{\frac{1}{14}+0{,}0050}\approx 0{,}9996\sqrt{0{,}07643}\approx 0{,}2763.
Para dar uma noção prática, podemos construir intervalos de confiança/ previsão. Para nível de confiança de 95\% usamos t-quantil com n-2=12 graus de liberdade: t_{0{,}975;12}\approx 2{,}179.
  • Intervalo de previsão de 95\% para uma nova observação individual em X_0:
\hat{Y}_0 \pm t_{0{,}975;12}\cdot \text{se}_{\text{pred}} \approx 6{,}05 \pm 2{,}179\cdot 1{,}0376 \approx 6{,}05 \pm 2{,}26,
ou seja aproximadamente (3{,}79,\;8{,}31) milhões de dólares.
  • Intervalo de 95\% para a média condicional E[Y\mid X=3{,}5]:
\hat{Y}_0 \pm t_{0{,}975;12}\cdot \text{se}_{\text{mean}} \approx 6{,}05 \pm 2{,}179\cdot 0{,}2763 \approx 6{,}05 \pm 0{,}60,
ou seja aproximadamente (5{,}45,\;6{,}65) milhões de dólares.
Interpretação prática da precisão:
  • A previsão pontual de vendas para X_0=3{,}5 é cerca de \$6{,}05 milhões.
  • Para estimar a média verdadeira de lojas com X=3{,}5 a incerteza é moderada: intervalo de 95\% estimado (5{,}45,\;6{,}65) milhões — relativamente preciso.
  • Para prever a venda de uma loja específica (observação individual), a incerteza é maior: intervalo de 95\% estimado (3{,}79,\;8{,}31) milhões — aí a variação individual em torno da reta é significativa (cerca de \pm 2{,}26 milhões). Isso decorre do erro-padrão residual cerca de \$1{,}0 milhão.

Passo 5

Resumo interpretativo final e orientação prática (motivação e confiança):
  • O modelo linear ajustado \hat{Y}\approx -1{,}2092+2{,}0743X captura bem a relação entre número de consumidores identificados e vendas: R^2_{\text{ajust}}\approx 0{,}835 indica que cerca de 83{,}5\% da variabilidade das vendas é explicada por X. Isso significa que o número de consumidores no raio é um bom preditor das vendas.
  • A inclinação positiva e relativamente alta (≈ 2{,}07) tem interpretação direta: cada milhão adicional de consumidores identificados tende a associar-se a um aumento de pouco mais de \$2 milhões nas vendas anuais, em média.
  • A previsão pontual para X_0=3{,}5 é \hat{Y}_0\approx 6{,}05 milhões. Se você quer estimar a média de lojas com esse X, o intervalo de 95\% é aproximadamente (5{,}45,\;6{,}65) milhões — relativamente estreito. Se a preocupação é prever uma loja específica, o intervalo de previsão é bem mais largo (3{,}79,\;8{,}31) milhões, refletindo a variabilidade individual não explicada pelo modelo.
  • Conclusão prática: o ajuste é bom para previsão de tendência média e para comparar locais; para decidir sobre investimentos que dependam de uma previsão individual muito precisa, leve em conta a incerteza individual (±≈$2{,}26 milhões para 95% de confiança).

Resposta

(a) Reta ajustada: \hat{Y}\approx -1{,}2092 + 2{,}0743\,X. \;R^2_{\text{ajust}}\approx 0{,}835 (aprox. 83{,}5\% da variabilidade de Y explicada por X); erro-padrão residual s\approx 1{,}00 milhão (ajuste bom para a tendência média).
(b) Previsão pontual para X_0=3{,}5: \hat{Y}_0\approx 6{,}05 milhões de dólares. Intervalo de 95\% para a média: aproximadamente (5{,}45,\;6{,}65) milhões. Intervalo de previsão de 95\% para uma nova loja individual: aproximadamente (3{,}79,\;8{,}31) milhões.

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