Um problema em uma linha telefônica, que impede o cliente de receber ou realizar ligações, é uma situação incômoda tanto para o usuário quanto para a companhia telefônica. Os dados a seguir representam amostras referentes a 20 ocorrências registradas em duas diferentes centrais de atendimento de uma mesma empresa, indicando o tempo necessário (em minutos) para solucionar cada problema nas linhas dos clientes.
(a) Supondo que as variâncias das populações de ambas as centrais sejam iguais, existem evidências de uma diferença entre as médias aritméticas dos tempos de espera das duas centrais? (Utilize \alpha=0,05 )
(b) Determine o valor- p obtido no item (a) e interprete o seu significado.
(c) Que outro pressuposto é necessário em (a)?
Central Telefônica I (minutos)
Table 1: Tempo para Solucionar Problemas nas Centrais Telefônicas
\captionsetup{labelformat=empty}
1,48 1,75 0,78 2,85 0,52 1,60 4,15 3,97 1,48 3,10
1,02 0,53 0,93 1,60 0,80 1,05 6,32 3,93 5,45 0,97
Central Telefônica II (minutos)
7,55 3,75 0,10 1,10 0,60 0,52 3,30 2,10 0,58 4,02
3,75 0,65 1,92 0,60 1,53 4,23 0,08 1,48 1,65 0,72

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. (a) Testar, com nível de significância \alpha=0{,}05, se existem evidências de diferença entre as médias dos tempos das duas centrais, supondo variâncias populacionais iguais.
  2. (b) Calcular o valor- p do teste do item (a) e interpretar seu significado.
  3. (c) Indicar outro pressuposto necessário para o teste do item (a).
Informações dadas (retiradas da tabela do enunciado):
  • Tempos da Central Telefônica I: n_1=20 observações cujo somatório é \sum_{i=1}^{20} x_{1i}=44{,}28.
  • Tempos da Central Telefônica II: n_2=20 observações cujo somatório é \sum_{i=1}^{20} x_{2i}=40{,}23.
  • Foi assumido no enunciado que as variâncias populacionais são iguais (pressuposto de variâncias iguais).
Não vamos resolver ainda; a partir daqui eu calculo passo a passo médias, variâncias, o estatístico t, o valor- p e a conclusão.

Passo 2

Calcular as médias amostrais e explicar como:
  • A média amostral é a soma das observações dividida pelo tamanho da amostra. Ou seja,
\bar{x}_1=\frac{1}{n_1}\sum_{i=1}^{n_1} x_{1i},\qquad \bar{x}_2=\frac{1}{n_2}\sum_{i=1}^{n_2} x_{2i}.
Usando os somatórios dados na tabela:
\bar{x}_1=\frac{44{,}28}{20}=2{,}214, \qquad \bar{x}_2=\frac{40{,}23}{20}=2{,}0115.
Interpretação curta: as médias são, respectivamente, aproximadamente 2{,}214 minutos e 2{,}0115 minutos.

Passo 3

Calcular as variâncias amostrais (passo a passo e fórmula):
  • A fórmula prática que uso aqui (baseada em soma dos quadrados) é
s^2=\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1},
onde \sum x_i^2 é a soma dos quadrados das observações, n é o tamanho da amostra e \bar{x} é a média amostral.
Pela soma dos quadrados calculada a partir dos dados (veja que peguei esses valores da tabela de dados, somei explicitamente as observações ao quadrado):
  • Para a Central I temos \sum_{i=1}^{20} x_{1i}^2 = 154{,}1174. Aplicando a fórmula:
s_1^2=\frac{154{,}1174 - 20\cdot(2{,}214)^2}{19} =\frac{154{,}1174 - 98{,}03592}{19} =\frac{56{,}08148}{19}\approx 2{,}9527.
Portanto s_1^2\approx 2{,}9527 e o desvio padrão amostral s_1\approx 1{,}718.
  • Para a Central II temos \sum_{i=1}^{20} x_{2i}^2 = 148{,}8951. Aplicando:
s_2^2=\frac{148{,}8951 - 20\cdot(2{,}0115)^2}{19} =\frac{148{,}8951 - 80{,}922645}{19} =\frac{67{,}972455}{19}\approx 3{,}5775.
Assim s_2^2\approx 3{,}5775 e s_2\approx 1{,}892.
Comentário didático: a variância amostral mede a dispersão das observações em torno da média; usamos n-1 no denominador para obter um estimador não viciado da variância populacional.

Passo 4

Construir a variância agrupada (pooled) sob a hipótese de variâncias iguais e explicar a fórmula:
  • Quando assumimos variâncias populacionais iguais, usamos a variância agrupada
s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}.
No nosso caso n_1=n_2=20, então
s_p^2=\frac{19\cdot 2{,}9527 + 19\cdot 3{,}5775}{38} =\frac{19(2{,}9527+3{,}5775)}{38} =\frac{19\cdot 6{,}5302}{38}\approx 3{,}2651.
O desvio agrupado é s_p\approx \sqrt{3{,}2651}\approx 1{,}807.
Explicação curta: o pooled é uma média ponderada das variâncias amostrais; como n_1=n_2, ele fica simplesmente na média aritmética de s_1^2 e s_2^2.

Passo 5

Formular o teste t (hipóteses, razão do teste e cálculo do valor observado):
  • As hipóteses (teste bilateral) são
H_0:\\ \mu_1=\mu_2 \qquad\text{vs.}\qquad H_1:\\ \mu_1\neq\mu_2.
  • O estatístico t sob variâncias iguais é
t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}.
Substituindo os valores:
\bar{x}_1-\bar{x}_2=2{,}214-2{,}0115=0{,}2025,
s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}=1{,}807\sqrt{\frac{1}{20}+\frac{1}{20}} =1{,}807\sqrt{0{,}1}\approx 1{,}807\cdot 0{,}31623\approx 0{,}5714.
Logo
t\approx\frac{0{,}2025}{0{,}5714}\approx 0{,}355.
Os graus de liberdade são df=n_1+n_2-2=38.
Didática rápida: quanto maior a diferença entre médias em relação à variabilidade (medida pelo denominador), maior o t em magnitude, e mais evidência contra H_0.

Passo 6

Decisão do teste e interpretação com \alpha=0{,}05:
  • Para teste bilateral com df=38 o valor crítico (t tabelado) para nível \alpha=0{,}05 é aproximadamente
t_{crit}=t_{0{,}975,38}\approx 2{,}024.
  • Comparação: |t|=0{,}355 < 2{,}024. Portanto não rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0{,}05.
Interpretação em linguagem simples e amigável: os dados não fornecem evidência suficiente, ao nível de 5%, de que as médias dos tempos das duas centrais sejam diferentes. Em outras palavras, a diferença observada de cerca de 0{,}20 minutos é pequena em relação à variabilidade dos tempos.

Passo 7

Cálculo do valor- p e interpretação (explicando o que é o valor- p):
  • O valor- p para um teste bilateral é
p\text{-value}=2\cdot\Pr(T_{38}\ge |t_{obs}|).
Com |t_{obs}|\approx 0{,}355 e df=38, o complemento da cdf é grande; usando aproximação pela normal ou tabela t, obtemos
p\text{-value}\approx 0{,}72\\ (\text{aproximadamente }0{,}72\text{ a }0{,}73).
Interpretação didática: o valor- p\approx 0{,}72 é a probabilidade, assumindo que H_0 é verdadeira, de obter um valor do estatístico tão extremo quanto o observado ou mais extremo. Como p\approx 0{,}72 é muito maior que \alpha=0{,}05, não temos razão para rejeitar H_0. Em termos práticos: observar uma diferença tão pequena ou maior entre médias é bem provável quando as médias são iguais, dado a variabilidade presente.

Passo 8

Resposta ao item (c) — outro pressuposto necessário e por quê:
  • Além de assumir variâncias iguais (que o enunciado já disse), o teste t clássico pressupõe que as populações (ou as distribuições dos tempos em cada central) sejam aproximadamente normais e que as observações em cada amostra sejam independentes e provenientes de amostragem aleatória.
  • Por que isso importa? A normalidade garante que a estatística t siga a distribuição t com os graus de liberdade indicados; a independência garante que as fórmulas de variância e de erro padrão sejam válidas. Para amostras moderadamente grandes (por ex. n\ge 20) o teste é um pouco robusto a pequenas violações de normalidade, mas grandes assimetrias ou outliers (por exemplo valores como 6{,}32 ou 7{,}55 são observações bastante maiores que a média) podem afetar o resultado e merecem atenção.

Resposta

(a) Não rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0{,}05; não há evidências suficientes de diferença entre as médias das duas centrais.
(b) Valor- p\approx 0{,}72. Isso significa que, sob H_0, há cerca de 72\% de chance de observar uma estatística tão extrema quanto a observada; como p>\alpha, o resultado não é estatisticamente significativo.
(c) Pressuposto adicional: normalidade (aproximada) das populações (e também amostras independentes/aleatórias).

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