Num grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 estudam Economia e 10 estudam Engenharia e Economia. Se um aluno é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que:
Ele estude Engenharia ou Economia

Passo 1

O enunciado dá um grupo com 500 estudantes e as informações abaixo, e pede a probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso estude Engenharia ou Economia:
  • Número total de estudantes: 500.
  • Estudam Engenharia: 80.
  • Estudam Economia: 150.
  • Estudam Engenharia e Economia (interseção): 10.
    A pergunta: qual a probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso estude Engenharia ou Economia (ou ambos)?

Passo 2

Definição básica de probabilidade que vamos usar: a probabilidade de um evento é a razão entre o número de casos favoráveis e o número total de casos possíveis (quando todos os casos são igualmente prováveis). Em símbolos:
P(\text{evento})=\frac{\text{nº de casos favoráveis}}{\text{nº total de casos}}.ºáº
Aqui o número total de casos é 500. Precisamos determinar o número de casos favoráveis (quantos estudam Engenharia ou Economia).

Passo 3

Como contamos quem estuda Engenharia ou Economia? Se somarmos simplesmente 80+150 vamos contar duas vezes quem estuda as duas coisas. Para ajustar isso usamos a regra de inclusão-exclusão para duas categorias:
|E\cup C| = |E| + |C| - |E\cap C|
Onde:
  • |E\cup C| é o número de estudantes que estudam Engenharia ou Economia (ou ambos),
  • |E| é o número que estudam Engenharia,
  • |C| é o número que estudam Economia,
  • |E\cap C| é o número que estudam as duas (interseção).
    A explicação simples: quem está nas duas categorias foi contado duas vezes em |E|+|C|, então subtraímos uma vez |E\cap C| para corrigir.

Passo 4

Aplicando os números do enunciado na fórmula da inclusão-exclusão:
|E\cup C| = 80 + 150 - 10 = 230 - 10 = 220.
Portanto há 220 estudantes que estudam Engenharia ou Economia (ou ambos).

Passo 5

Agora aplicamos a definição de probabilidade com número de casos favoráveis 220 e total 500:
P(\text{Engenharia ou Economia})=\frac{220}{500}.
Simplificando a fração: dividimos numerador e denominador por 20,
\frac{220}{500}=\frac{11}{25}.
Transformando em decimal e porcentagem:
\frac{11}{25}=0,44=44\%.

Passo 6

Verificação rápida por complementar: número que não estudam nem uma nem outra é 500-220=280, então a probabilidade de não estudar nenhuma é \frac{280}{500}=0,56. Logo a probabilidade de estudar ao menos uma é 1-0,56=0,44, consistente com o resultado acima. Tudo bate.

Resposta

\dfrac{11}{25}=0,44=44\%

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