Num grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 estudam Economia e 10 estudam Engenharia e Economia. Se um aluno é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que:
Ele estude Engenharia ou Economia
Ele estude Engenharia ou Economia
Passo 1
O enunciado dá um grupo com
estudantes e as informações abaixo, e pede a probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso estude Engenharia ou Economia:
- Número total de estudantes:
. - Estudam Engenharia:
. - Estudam Economia:
. - Estudam Engenharia e Economia (interseção):
.
A pergunta: qual a probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso estude Engenharia ou Economia (ou ambos)?
Passo 2
Definição básica de probabilidade que vamos usar: a probabilidade de um evento é a razão entre o número de casos favoráveis e o número total de casos possíveis (quando todos os casos são igualmente prováveis). Em símbolos:
Aqui o número total de casos é
. Precisamos determinar o número de casos favoráveis (quantos estudam Engenharia ou Economia).
Passo 3
Como contamos quem estuda Engenharia ou Economia? Se somarmos simplesmente
vamos contar duas vezes quem estuda as duas coisas. Para ajustar isso usamos a regra de inclusão-exclusão para duas categorias:
Onde:
-
é o número de estudantes que estudam Engenharia ou Economia (ou ambos), -
é o número que estudam Engenharia, -
é o número que estudam Economia, -
é o número que estudam as duas (interseção).
A explicação simples: quem está nas duas categorias foi contado duas vezes em, então subtraímos uma vez para corrigir.
Passo 4
Aplicando os números do enunciado na fórmula da inclusão-exclusão:
Portanto há
estudantes que estudam Engenharia ou Economia (ou ambos).
Passo 5
Agora aplicamos a definição de probabilidade com número de casos favoráveis
e total
:
Simplificando a fração: dividimos numerador e denominador por
,
Transformando em decimal e porcentagem:
Passo 6
Verificação rápida por complementar: número que não estudam nem uma nem outra é
, então a probabilidade de não estudar nenhuma é
. Logo a probabilidade de estudar ao menos uma é
, consistente com o resultado acima. Tudo bate.