Se
dados (
) estão alinhados, isto é, existem
e
tais que
para todo
, mostre que o coeficiente de correlação é igual a 1 ou -1 .
Passo 1
O enunciado dá
pares de dados
tais que existe uma reta com coeficientes
e
satisfazendo
A pergunta é: mostrar que o coeficiente de correlação (o coeficiente de correlação linear de Pearson entre
e
) vale
ou
.
Informações relevantes que temos: as fórmulas dos dados (a relação linear exata entre e
), e que isso vale para todos os
. Não usamos nenhuma figura; tudo está no enunciado. Não assumimos nada mais além do que foi dado (exceto a necessidade de variância não nula, que vamos explicar).
Informações relevantes que temos: as fórmulas dos dados (a relação linear exata entre
Passo 2
Vou começar definindo as quantidades básicas que usaremos (e explicando o que cada uma significa).
A média amostral de e de
são
A média amostral de
Essas médias representam o “centro” dos dados em cada coordenada. Como temos
, posso tirar média em ambos os lados (média é linear), obtendo
Ou seja, a reta também relaciona as médias.
Passo 3
Agora defino as somas de quadrados e a covariância amostral (nomes e fórmulas; mostro o que representam):
- Soma de quadrados de
:
Isto mede a variabilidade de
em torno da média.
- Soma de quadrados de
:
Isto mede a variabilidade de
.
- Soma cruzada (numerador da covariância amostral):
Isto mede como
e
variam juntos (se quando
está acima da média,
também está acima,
é positivo, etc.).
O coeficiente de correlação de Pearson
(amostral) é definido por
É a covariância padronizada — fica entre
e
quando
e
.
Passo 4
Agora uso a relação linear
para simplificar
. Primeiro observo que, usando
,
Isto é intuitivo: o deslocamento de
em relação à média é exatamente
vezes o deslocamento de
em relação à média. Substituindo em
:
Como
é constante, sai da soma:
Portanto
é exatamente
vezes
.
Passo 5
Faço o mesmo para
. Usando
,
Então
.
Passo 6
Agora substituo
e
na fórmula de
:
Simplifico o denominador:
pois
e
(aqui uso que
; se
veremos o caso degenerado em seguida). Assim
Portanto
se
e
se
.
Passo 7
Precauções e caso degenerado (o que acontece se algumas quantidades forem zero):
- Se
então todos os são iguais (não há variabilidade em ); nesse caso também, e a expressão de tem denominação zero — o coeficiente de correlação não está definido nesse caso. - Se
então para todo (todos iguais), então e novamente não está definido.
Portanto a conclusãovale quando há variabilidade em (ou seja ) e consequentemente (quando ). Em termos práticos na prova: suponha que nem todos os são iguais e que a reta tem coeficiente angular ; aí .
Passo 8
Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia (aplica o que fizemos): os pontos
têm
. Calculo:
que confirma
quando
.