Se n dados ( x_{i}, y_{i} ) estão alinhados, isto é, existem a e b tais que y_{i}=a x_{i}+b para todo i=1,2, \ldots, n, mostre que o coeficiente de correlação é igual a 1 ou -1 .

Passo 1

O enunciado dá n pares de dados (x_i,y_i) tais que existe uma reta com coeficientes a e b satisfazendo
y_i = a x_i + b\quad\text{para todo }i=1,2,\dots,n.
A pergunta é: mostrar que o coeficiente de correlação (o coeficiente de correlação linear de Pearson entre x e y) vale 1 ou -1.
Informações relevantes que temos: as fórmulas dos dados (a relação linear exata entre x_i e y_i), e que isso vale para todos os i. Não usamos nenhuma figura; tudo está no enunciado. Não assumimos nada mais além do que foi dado (exceto a necessidade de variância não nula, que vamos explicar).

Passo 2

Vou começar definindo as quantidades básicas que usaremos (e explicando o que cada uma significa).
A média amostral de x e de y são
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,\qquad \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i.
Essas médias representam o “centro” dos dados em cada coordenada. Como temos y_i=a x_i+b, posso tirar média em ambos os lados (média é linear), obtendo
\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (a x_i + b) = a\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\right) + b = a\bar{x}+b.
Ou seja, a reta também relaciona as médias.

Passo 3

Agora defino as somas de quadrados e a covariância amostral (nomes e fórmulas; mostro o que representam):
  • Soma de quadrados de x:
S_{xx}=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2.
Isto mede a variabilidade de x em torno da média.
  • Soma de quadrados de y:
S_{yy}=\sum_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2.
Isto mede a variabilidade de y.
  • Soma cruzada (numerador da covariância amostral):
S_{xy}=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}).
Isto mede como x e y variam juntos (se quando x está acima da média, y também está acima, S_{xy} é positivo, etc.).
O coeficiente de correlação de Pearson r (amostral) é definido por
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}}.
É a covariância padronizada — fica entre -1 e 1 quando S_{xx}>0 e S_{yy}>0.

Passo 4

Agora uso a relação linear y_i=a x_i+b para simplificar S_{xy}. Primeiro observo que, usando \bar{y}=a\bar{x}+b,
y_i-\bar{y} = a x_i + b - (a\bar{x}+b) = a(x_i-\bar{x}).
Isto é intuitivo: o deslocamento de y em relação à média é exatamente a vezes o deslocamento de x em relação à média. Substituindo em S_{xy}:
S_{xy}=\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})\bigl(a(x_i-\bar{x})\bigr).
Como a é constante, sai da soma:
S_{xy}=a\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 = a\,S_{xx}.
Portanto S_{xy} é exatamente a vezes S_{xx}.

Passo 5

Faço o mesmo para S_{yy}. Usando y_i-\bar{y}=a(x_i-\bar{x}),
S_{yy}=\sum_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2 = \sum_{i=1}^n \bigl(a(x_i-\bar{x})\bigr)^2 = a^2 \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 = a^2 S_{xx}.
Então S_{yy}=a^2 S_{xx}.

Passo 6

Agora substituo S_{xy} e S_{yy} na fórmula de r:
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}} = \frac{a\,S_{xx}}{\sqrt{S_{xx}\,(a^2 S_{xx})}}.
Simplifico o denominador:
\sqrt{S_{xx}\,(a^2 S_{xx})}=\sqrt{a^2 S_{xx}^2}=|a|\,S_{xx},
pois \sqrt{a^2}=|a| e \sqrt{S_{xx}^2}=S_{xx} (aqui uso que S_{xx}\ge0; se S_{xx}=0 veremos o caso degenerado em seguida). Assim
r=\frac{a\,S_{xx}}{|a|\,S_{xx}}=\frac{a}{|a|}.
Portanto r=1 se a>0 e r=-1 se a<0.

Passo 7

Precauções e caso degenerado (o que acontece se algumas quantidades forem zero):
  • Se S_{xx}=0 então todos os x_i são iguais (não há variabilidade em x); nesse caso S_{yy}=a^2 S_{xx}=0 também, e a expressão de r tem denominação zero — o coeficiente de correlação não está definido nesse caso.
  • Se a=0 então y_i=b para todo i (todos y iguais), então S_{yy}=0 e novamente r não está definido.
    Portanto a conclusão r=\pm1 vale quando há variabilidade em x (ou seja S_{xx}>0) e consequentemente S_{yy}>0 (quando a\neq0). Em termos práticos na prova: suponha que nem todos os x_i são iguais e que a reta tem coeficiente angular a\neq0; aí r=\operatorname{sign}(a).

Passo 8

Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia (aplica o que fizemos): os pontos (1,2),(2,4),(3,6) têm a=2,b=0. Calculo:
\bar{x}=2,\\ \bar{y}=4,\\ S_{xx}=(1-2)^2+0+(3-2)^2=2,
S_{xy}=aS_{xx}=2\cdot2=4,\quad S_{yy}=a^2S_{xx}=4\cdot2=8,
r=\frac{4}{\sqrt{2\cdot8}}=\frac{4}{\sqrt{16}}=\frac{4}{4}=1,
que confirma r=1 quando a>0.

Resposta

\displaystyle r=1 se \displaystyle a>0.
\displaystyle r=-1 se \displaystyle a<0.

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