A prefeitura de uma cidade de médio porte está monitorando o desempenho de duas Unidades Básicas de Saúde (UBS) com o objetivo de identificar possíveis diferenças operacionais. Uma das principais métricas avaliadas é o tempo total de atendimento por paciente, desde a chegada até o registro final. Uma auditoria interna foi realizada ao longo de duas semanas, coletando tempos de atendimento em minutos para amostras independentes nas duas unidades.
Os resultados obtidos foram:
  • Unidade 1: n_{1}=35, \bar{x}_{1}=17,3, s_{1}=4,5
  • Unidade 2: n_{2}=31, \bar{x}_{2}=19,1, s_{2}=5,1

Passo 1

O enunciado nos fornece amostras independentes de tempos de atendimento (em minutos) nas duas unidades com os seguintes dados:
  • Unidade 1: n_{1}=35, \bar{x}_{1}=17,3, s_{1}=4,5.
  • Unidade 2: n_{2}=31, \bar{x}_{2}=19,1, s_{2}=5,1.
As perguntas que vou responder (decididas a partir do enunciado e típicas desse tipo de problema):
  1. Existe evidência estatística de diferença entre os tempos médios de atendimento das duas UBS? Vou testar isto usando um teste de duas amostras (hipótese bilateral).
  2. Estimar (com intervalo de confiança de 95\%) a diferença entre as médias \mu_{1}-\mu_{2}.
Escolho o nível de significância \alpha=0,05 (critério usual quando o enunciado não especifica).

Passo 2

Definição clara do teste e a fórmula do estatístico.
Hipóteses (teste bilateral):
H_0:\\ \mu_{1}=\mu_{2}
H_1:\\ \mu_{1}\neq\mu_{2}
Explicação do método escolhido (resumida e prática): como as amostras são independentes e as variâncias amostrais parecem diferentes ( s_{1} e s_{2} não são iguais), uso o teste t de Welch (que não assume variâncias iguais). O estatístico de teste é
t=\frac{\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}}{\sqrt{\dfrac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{s_{2}^{2}}{n_{2}}}}.
Aqui:
  • \bar{x}_{1}-\bar{x}_{2} é a diferença observada entre as médias amostrais (numerador).
  • s_{1}^{2}/n_{1} e s_{2}^{2}/n_{2} são as variâncias amostrais divididas pelo tamanho das amostras; a soma dessas quantias é a variância do estimador da diferença das médias; a raiz é o erro padrão (denominador).
Agora calculamos cada peça com os números dados.
Calcule as variâncias amostrais:
s_{1}^{2}=4,5^{2}=20,25, \qquad s_{2}^{2}=5,1^{2}=26,01.
Calcule as contribuições ao quadrado do erro padrão:
\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}}=\frac{20,25}{35}\approx0,578571, \qquad \frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}=\frac{26,01}{31}\approx0,839032.
Some e extraia a raiz para obter o erro padrão:
\text{SE}=\sqrt{0,578571+0,839032}=\sqrt{1,417603}\approx1,191.
A diferença observada das médias é
\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}=17,3-19,1=-1,8.
Portanto o estatístico de teste é
t=\frac{-1,8}{1,191}\approx-1,512.
Interpretação prática desta conta: o valor t mede quantos erros-padrão a diferença observada está distante de zero. Valores absolutos grandes (por exemplo |t|>2 dependendo dos graus de liberdade) indicam evidência contra H_0.

Passo 3

Graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch–Satterthwaite) — preciso deste valor para encontrar o p-valor e o quantil t para o intervalo de confiança.
A fórmula é
\nu \approx \frac{\left(\dfrac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{s_{2}^{2}}{n_{2}}\right)^{2}}{\dfrac{\left(\dfrac{s_{1}^{2}}{n_{1}}\right)^{2}}{n_{1}-1}+\dfrac{\left(\dfrac{s_{2}^{2}}{n_{2}}\right)^{2}}{n_{2}-1}}.
Substituindo os valores já calculados:
\left(\dfrac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{s_{2}^{2}}{n_{2}}\right)^{2}=(1,417603)^{2}\approx2,009.
Calcule os termos do denominador:
\frac{\left(\dfrac{s_{1}^{2}}{n_{1}}\right)^{2}}{n_{1}-1}=\frac{(0,578571)^{2}}{34}\approx\frac{0,334743}{34}\approx0,00984,
\frac{\left(\dfrac{s_{2}^{2}}{n_{2}}\right)^{2}}{n_{2}-1}=\frac{(0,839032)^{2}}{30}\approx\frac{0,704}{30}\approx0,02347.
Somando:
\text{denom}\approx0,00984+0,02347=0,03331.
Logo
\nu\approx\frac{2,009}{0,03331}\approx60,3.
Arredondamos \nu para um valor prático ao consultar tabelas ou calculadoras: \nu\approx60.
Comentário didático curto: graus de liberdade menores reduzem a “força” do teste (tornam o |t| necessário para rejeitar maior). Como \nu aqui é relativamente grande ( \sim60), a distribuição t está bem próxima da normal padrão.

Passo 4

Cálculo do p-valor e decisão do teste.
Para teste bilateral:
\text{p-valor}=2\cdot P\big(T_{\nu}\le t_{\text{obs}}\big)=2\cdot P\big(T_{60}\le -1,512\big).
Usando a simetria e tabelas/softwares, para t\approx-1,512 com \nu\approx60 obtém-se aproximadamente
\text{p-valor}\approx0,13\\ (\text{mais precisamente }0,13\text{ a }0,14).
Comparando com \alpha=0,05: \text{p-valor}>0,05. Assim, não rejeitamos H_0 ao nível de 5\%.
Interpretação em linguagem simples: não há evidência estatística suficiente, nos dados amostrados, para afirmar que as médias dos tempos de atendimento das duas unidades são diferentes.

Passo 5

Construção do intervalo de confiança de 95\% para \mu_{1}-\mu_{2}.
Fórmula do intervalo (usando os graus de liberdade de Welch):
(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})\pm t_{1-\frac{\alpha}{2},\nu}\cdot\text{SE}.
Para \alpha=0,05 e \nu\approx60 o quantil crítico é aproximadamente
t_{0,975,60}\approx1,999\\ (\text{aprox }2,000).
Já temos \bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}=-1,8 e \text{SE}\approx1,191. Então a margem de erro é
\text{ME}=1,999\cdot1,191\approx2,381.
Portanto o intervalo é
-1,8\pm2,381,
ou seja
[-4,181,\\\ 0,581]\\ (\text{aproximadamente }[-4,18,\\\ 0,58]).
Interpretação: com 95\% de confiança, a diferença real de médias \mu_{1}-\mu_{2} está entre aproximadamente -4,18 minutos e 0,58 minutos. Como o intervalo contém zero, isso está coerente com a conclusão de não rejeitar H_0.

Passo 6

Comentários práticos e conclusão final (motivação para a prova e para a auditoria):
  • Em termos de significância estatística, não foi encontrada diferença suficiente entre as médias ao nível \alpha=0,05.
  • Em termos práticos, a média da Unidade 1 é 1,8 minutos menor que a da Unidade 2 na amostra. Mesmo que este valor não seja estatisticamente significativo aqui, convém avaliar se uma diferença de 1,8 minutos seria relevante operacionalmente para a administração. Se for relevante, pode-se planejar um estudo com maior tamanho amostral (aumentar n) para ter mais poder para detectar diferenças dessa magnitude.
  • Dica rápida para a prova: sempre verifique se as variâncias podem ser assumidas iguais. Se não, opte pelo teste de Welch; calcule SE, o t e os graus de liberdade com a fórmula de Welch–Satterthwaite. Ao final, calcule o intervalo de confiança para ter a estimativa de efeito com sua incerteza.

Resposta

Não rejeita-se H_{0} ao nível \alpha=0,05 (estatístico t\approx-1,512, p\approx0,13).\nIntervalo de confiança de 95\% para \mu_{1}-\mu_{2}: aproximadamente [-4,18,\;0,58].

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