A prefeitura de uma cidade de médio porte está monitorando o desempenho de duas Unidades Básicas de Saúde (UBS) com o objetivo de identificar possíveis diferenças operacionais. Uma das principais métricas avaliadas é o tempo total de atendimento por paciente, desde a chegada até o registro final. Uma auditoria interna foi realizada ao longo de duas semanas, coletando tempos de atendimento em minutos para amostras independentes nas duas unidades.
Os resultados obtidos foram:
- Unidade 1:
- Unidade 2:
Passo 1
O enunciado nos fornece amostras independentes de tempos de atendimento (em minutos) nas duas unidades com os seguintes dados:
- Unidade 1:
, , . - Unidade 2:
, , .
As perguntas que vou responder (decididas a partir do enunciado e típicas desse tipo de problema):
- Existe evidência estatística de diferença entre os tempos médios de atendimento das duas UBS? Vou testar isto usando um teste de duas amostras (hipótese bilateral).
- Estimar (com intervalo de confiança de
) a diferença entre as médias .
Escolho o nível de significância
(critério usual quando o enunciado não especifica).
Passo 2
Definição clara do teste e a fórmula do estatístico.
Hipóteses (teste bilateral):
Explicação do método escolhido (resumida e prática): como as amostras são independentes e as variâncias amostrais parecem diferentes (
e
não são iguais), uso o teste
de Welch (que não assume variâncias iguais). O estatístico de teste é
Aqui:
-
é a diferença observada entre as médias amostrais (numerador). -
e são as variâncias amostrais divididas pelo tamanho das amostras; a soma dessas quantias é a variância do estimador da diferença das médias; a raiz é o erro padrão (denominador).
Agora calculamos cada peça com os números dados.
Calcule as variâncias amostrais:
Calcule as contribuições ao quadrado do erro padrão:
Some e extraia a raiz para obter o erro padrão:
A diferença observada das médias é
Portanto o estatístico de teste é
Interpretação prática desta conta: o valor
mede quantos erros-padrão a diferença observada está distante de zero. Valores absolutos grandes (por exemplo
dependendo dos graus de liberdade) indicam evidência contra
.
Passo 3
Graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch–Satterthwaite) — preciso deste valor para encontrar o
-valor e o quantil
para o intervalo de confiança.
A fórmula é
Substituindo os valores já calculados:
Calcule os termos do denominador:
Somando:
Logo
Arredondamos
para um valor prático ao consultar tabelas ou calculadoras:
.
Comentário didático curto: graus de liberdade menores reduzem a “força” do teste (tornam o
necessário para rejeitar maior). Como
aqui é relativamente grande (
), a distribuição
está bem próxima da normal padrão.
Passo 4
Cálculo do
-valor e decisão do teste.
Para teste bilateral:
Usando a simetria e tabelas/softwares, para
com
obtém-se aproximadamente
Comparando com
:
. Assim, não rejeitamos
ao nível de
.
Interpretação em linguagem simples: não há evidência estatística suficiente, nos dados amostrados, para afirmar que as médias dos tempos de atendimento das duas unidades são diferentes.
Passo 5
Construção do intervalo de confiança de
para
.
Fórmula do intervalo (usando os graus de liberdade de Welch):
Para
e
o quantil crítico é aproximadamente
Já temos
e
. Então a margem de erro é
Portanto o intervalo é
ou seja
Interpretação: com
de confiança, a diferença real de médias
está entre aproximadamente
minutos e
minutos. Como o intervalo contém zero, isso está coerente com a conclusão de não rejeitar
.
Passo 6
Comentários práticos e conclusão final (motivação para a prova e para a auditoria):
- Em termos de significância estatística, não foi encontrada diferença suficiente entre as médias ao nível
. - Em termos práticos, a média da Unidade 1 é
minutos menor que a da Unidade 2 na amostra. Mesmo que este valor não seja estatisticamente significativo aqui, convém avaliar se uma diferença de minutos seria relevante operacionalmente para a administração. Se for relevante, pode-se planejar um estudo com maior tamanho amostral (aumentar ) para ter mais poder para detectar diferenças dessa magnitude. - Dica rápida para a prova: sempre verifique se as variâncias podem ser assumidas iguais. Se não, opte pelo teste de Welch; calcule SE, o
e os graus de liberdade com a fórmula de Welch–Satterthwaite. Ao final, calcule o intervalo de confiança para ter a estimativa de efeito com sua incerteza.
Resposta
Não rejeita-se
ao nível
(estatístico
,
).\nIntervalo de confiança de
para
: aproximadamente
.