UMA EMPRESA DE TECNOLOGIA QUER ESTIMAR O CUSTO TOTAL PARA CORRIGIR TODOS OS BUGS EM UM NOVO SOFTWARE. ELES SABEM QUE ENCONTRAR E CORRIGIR BUGS FICA CADA VEZ MAIS DIFICIL (E CARO) COM O TEMPO. ELES MODELAM QUE O CUSTO PARA CORRIGIR O N-ÉSIMO BUG É APROXIMADAMENTE RS \mathbf{1 0 0 0} \boldsymbol{/} \mathbf{N}^{\mathbf{2}}.
QUAL É O ORÇAMENTO TOTAL NECESSÁRIO PARA CORRIGIR “TODOS” OS BUGS?
DICA: ASSUMA QUE \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6} \approx 1.6449

Passo 1

O enunciado pede o orçamento total para consertar “todos” os bugs, sabendo que o custo para consertar o n-ésimo bug é aproximadamente \dfrac{1000}{n^{2}} (unidade monetária). Informações dadas e o que se pede:
  • Para cada inteiro n\ge 1, o custo do n-ésimo bug é \dfrac{1000}{n^{2}}.
  • Quer-se a soma dos custos para todos os bugs, isto é, a soma de n=1 até infinito.
  • Dica fornecida: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\approx 1,6449.

Passo 2

Escrevendo o orçamento total como uma série infinita: seja S o custo total, então
S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1000}{n^{2}}.
Explicação didática: uma soma infinita como essa significa somar os custos do primeiro bug, do segundo, do terceiro, etc. A notação \sum_{n=1}^{\infty} indica que o índice n percorre todos os inteiros positivos indefinidamente.

Passo 3

Fator comum: podemos tirar o constante 1000 para fora da soma, por linearidade da soma:
S=1000\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.
Explicando a propriedade usada: para qualquer constante c e série \sum a_n vale \sum c\,a_n = c\sum a_n. Aqui isso torna a soma mais simples porque sobra a soma padrão \sum 1/n^{2}.

Passo 4

Convergência e significado prático: a série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} (chamada de série p) converge se e somente se p>1. No nosso caso p=2, então a soma converge — isto é, os custos somados até o infinito dão um número finito. Intuição: os termos \dfrac{1}{n^{2}} decrescem rápido o suficiente para que a soma não exploda.

Passo 5

Usar a dica para obter o valor exato e simplificar:
S=1000\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=1000\cdot\frac{\pi^{2}}{6}=\frac{1000\pi^{2}}{6}=\frac{500\pi^{2}}{3}.
Aqui \pi é a constante clássica (aprox. 3,14159). A expressão \dfrac{500\pi^{2}}{3} é a forma exata; para orçamento prático convertemos para valor numérico usando a aproximação dada.

Passo 6

Aproximação numérica (usar a dica \dfrac{\pi^{2}}{6}\approx 1,6449):
S \approx 1000\cdot 1,6449 = 1644,9\ldots
Arredondando para centavos (prática comum em orçamento), fica 1644,93 na moeda usada. Dica de bom gestor: ao preparar o orçamento, convém arredondar para cima ou adicionar margem de contingência, por exemplo reservar R\$\,1700 para segurança.

Resposta

R$ 1000\cdot\frac{\pi^{2}}{6}\approx 1644,93

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