UMA EMPRESA DE TECNOLOGIA QUER ESTIMAR O CUSTO TOTAL PARA CORRIGIR TODOS OS BUGS EM UM NOVO SOFTWARE. ELES SABEM QUE ENCONTRAR E CORRIGIR BUGS FICA CADA VEZ MAIS DIFICIL (E CARO) COM O TEMPO. ELES MODELAM QUE O CUSTO PARA CORRIGIR O N-ÉSIMO BUG É APROXIMADAMENTE RS
.
QUAL É O ORÇAMENTO TOTAL NECESSÁRIO PARA CORRIGIR “TODOS” OS BUGS?
DICA: ASSUMA QUE
DICA: ASSUMA QUE
Passo 1
O enunciado pede o orçamento total para consertar “todos” os bugs, sabendo que o custo para consertar o
-ésimo bug é aproximadamente
(unidade monetária). Informações dadas e o que se pede:
- Para cada inteiro
, o custo do -ésimo bug é . - Quer-se a soma dos custos para todos os bugs, isto é, a soma de
até infinito. - Dica fornecida:
.
Passo 2
Escrevendo o orçamento total como uma série infinita: seja
o custo total, então
Explicação didática: uma soma infinita como essa significa somar os custos do primeiro bug, do segundo, do terceiro, etc. A notação
indica que o índice
percorre todos os inteiros positivos indefinidamente.
Passo 3
Fator comum: podemos tirar o constante
para fora da soma, por linearidade da soma:
Explicando a propriedade usada: para qualquer constante
e série
vale
. Aqui isso torna a soma mais simples porque sobra a soma padrão
.
Passo 4
Convergência e significado prático: a série
(chamada de série p) converge se e somente se
. No nosso caso
, então a soma converge — isto é, os custos somados até o infinito dão um número finito. Intuição: os termos
decrescem rápido o suficiente para que a soma não exploda.
Passo 5
Usar a dica para obter o valor exato e simplificar:
Aqui
é a constante clássica (aprox.
). A expressão
é a forma exata; para orçamento prático convertemos para valor numérico usando a aproximação dada.
Passo 6
Aproximação numérica (usar a dica
):
Arredondando para centavos (prática comum em orçamento), fica
na moeda usada. Dica de bom gestor: ao preparar o orçamento, convém arredondar para cima ou adicionar margem de contingência, por exemplo reservar
para segurança.
Resposta
R$