O que se pede: escrever esse sistema sem usar matrizes — ou seja, escrever as equações escalares (componentes) para cada entrada de \mathbf{X}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
A matriz de coeficientes éA=\begin{pmatrix}7 & 5 & -9 \\[4pt] 4 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & -2 & 3\end{pmatrix},cujas entradas (linha a linha) serão usadas para formar combinações lineares das componentes de \mathbf{X}.
O termo de força (homogêneo não nulo) tem duas partes exponenciais:\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix}e^{5t} \quad\text{e}\quad \begin{pmatrix}8\\[4pt]0\\[4pt]3\end{pmatrix}e^{-2t},sendo o segundo subtraído (observe o sinal menos antes dele).
A variável desconhecida vetorial é \mathbf{X}=\mathbf{X}(t) e sua derivada temporal é \mathbf{X}'(t).]
Passo 2
Vamos nomear as componentes de \mathbf{X}(t). Defina
onde x_i'(t) denota a derivada temporal de x_i(t).
Explicação rápida de multiplicação matriz·vetor (para lembrar como passar para equações escalares): cada componente da direita é o produto escalar da linha correspondente da matriz pelos componentes de \mathbf{X}, mais os termos escalares das vetores-exponenciais. Por exemplo, a primeira linha da matriz dá 7x_1+5x_2-9x_3, que será a parte linear da primeira equação.]
Passo 3
Calculemos a equação para a primeira componente. Tomando a primeira linha da matriz e os termos forçantes:
parte linear: 7x_1(t)+5x_2(t)-9x_3(t);
termo vindo de \begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix}e^{5t}: a primeira entrada é 0, então contribui com 0\cdot e^{5t}=0;
termo vindo de -\begin{pmatrix}8\\[4pt]0\\[4pt]3\end{pmatrix}e^{-2t}: a primeira entrada é 8, com o sinal menos fica -8e^{-2t}.
Portanto a primeira equação escalares é
x_1'(t)=7x_1(t)+5x_2(t)-9x_3(t)-8e^{-2t}.]
Passo 4
Agora a segunda componente. Da segunda linha da matriz e dos vetores forçantes:
parte linear: 4x_1(t)+1\cdot x_2(t)+1\cdot x_3(t)=4x_1(t)+x_2(t)+x_3(t);
termo de e^{5t}: a segunda entrada do primeiro vetor forçante é 2, então soma +2e^{5t};
termo de e^{-2t}: a segunda entrada do segundo vetor é 0, e com o sinal menos dá -0\cdot e^{-2t}=0, que pode ser descartado.
Portanto a segunda equação é
x_2'(t)=4x_1(t)+x_2(t)+x_3(t)+2e^{5t}.
Passo 5
Finalmente a terceira componente. Da terceira linha da matriz e dos vetores:
parte linear: 0\cdot x_1(t)-2x_2(t)+3x_3(t)=-2x_2(t)+3x_3(t);
termo de e^{5t}: terceira entrada do primeiro vetor forçante é 1, então soma +1\cdot e^{5t}=+e^{5t};
termo de e^{-2t}: terceira entrada do segundo vetor é 3, com o sinal menos fica -3e^{-2t}.