Sejam as seguintes matrizes nos itens abaixo. Determine se a matriz A é diagonalizável. Caso positivo, encontre uma matriz D, diagonal e uma matriz P, tal que D=P^{-1} A P :
\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 6 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: determinar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, encontrar uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tais que D = P^{-1} A P.
  • Nos é dada a matriz
A = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] 6 & -1\end{array}\right].]

Passo 2

O que significa diagonalizar uma matriz — lição rápida e prática:
  • Diagonalizar A é encontrar uma base formada por autovetores de A. Se existe uma base de \mathbb{R}^n (ou \mathbb{C}^n) constituída por autovetores de A, então A é diagonalizável.
  • Procedimento padrão (o que faremos):
    1. Calcular os autovalores (raízes do polinômio característico).
    2. Para cada autovalor \lambda, achar o espaço próprio (autovetores): resolver (A-\lambda I)v=0.
    3. Verificar se conseguimos n autovetores linearmente independentes. Em dimensão 2, se obtivermos dois autovetores independentes, já está diagonalizável.
  • Observação útil: se uma matriz 2\times2 tem dois autovalores distintos, então automaticamente ela é diagonalizável (pois os autovetores correspondentes a autovalores distintos são linearmente independentes).

Passo 3

Calcular o polinômio característico de A e seus autovalores.
  • Traço de A: \operatorname{tr}A = 1 + (-1) = 0.
  • Determinante de A: \det A = 1\cdot(-1) - 0\cdot6 = -1.
  • Polinômio característico (2×2):
p(\lambda)=\lambda^{2} - (\operatorname{tr}A)\lambda + \det A = \lambda^{2} - 0\cdot\lambda -1 = \lambda^{2}-1.
  • Raízes: resolver \lambda^{2}-1=0
\lambda = 1 \quad\text{e}\quad \lambda = -1.

Passo 4

Conclusão sobre diagonalizabilidade a partir dos autovalores:
  • Os autovalores são \lambda=1 e \lambda=-1, que são distintos.
  • Como são dois autovalores distintos em uma matriz 2\times2, concluímos que existem dois autovetores linearmente independentes e, portanto, A é diagonalizável.

Passo 5

Encontrar os autovetores para \lambda=1.
  • Resolver (A - I)v = 0, isto é
\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] 6 & -1\end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\[4pt] 6 & -2\end{array}\right].
  • Sistema \left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\[4pt] 6 & -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\[4pt] y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\[4pt]0\end{array}\right] dá a equação
6x - 2y = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x - y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 3x.
  • Então os autovetores associados a \lambda=1 são todos os múltiplos de
v_{1} = \left[\begin{array}{c}1\\[4pt]3\end{array}\right].
(Escolhi x=1 para ter um vetor simples.)]

Passo 6

Encontrar os autovetores para \lambda=-1.
  • Resolver (A + I)v = 0, pois -1 é autovalor:
A - (-1)I = A + I = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] 6 & -1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\[4pt] 6 & 0\end{array}\right].
  • Sistema \left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\[4pt] 6 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\[4pt] y\end{array}\right]=0 2x=0\Rightarrow x=0. y é livre.
  • Então os autovetores associados a \lambda=-1 são múltiplos de
v_{2} = \left[\begin{array}{c}0\\[4pt]1\end{array}\right].]

Passo 7

Montar P e D a partir dos autovetores e autovalores.
  • Colocamos os autovetores em P como colunas: primeira coluna um autovetor de \lambda=1, segunda coluna um autovetor de \lambda=-1. Assim escolho
P = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] 3 & 1\end{array}\right].
  • A diagonal D terá os autovalores na mesma ordem das colunas de P:
D = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{array}\right].]

Passo 8

Verificação rápida (para ficar tranquilo): calcular P^{-1}AP e ver que dá D.
  • Determinante de P: \det P = 1\cdot1 - 0\cdot3 = 1, logo P é invertível e
P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] -3 & 1\end{array}\right].
  • Calcular A P:
A P = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] 6 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt]3 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt]3 & -1\end{array}\right].
  • Agora P^{-1}(A P):
P^{-1}(A P) = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] -3 & 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt]3 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt]0 & -1\end{array}\right] = D.
  • Tudo conferiu: D = P^{-1} A P.]

Resposta

A é diagonalizável: Sim.
D = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{array}\right]
P = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] 3 & 1\end{array}\right]]

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