Sejam as seguintes matrizes nos itens abaixo. Determine se a matriz A é diagonalizável. Caso positivo, encontre uma matriz D, diagonal e uma matriz P, tal que D=P^{-1} A P : \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 6 & -1\end{array}\right]
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
Pede: determinar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, encontrar uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tais que D = P^{-1} A P.
Nos é dada a matriz
A = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\[4pt] 6 & -1\end{array}\right].]
Passo 2
O que significa diagonalizar uma matriz — lição rápida e prática:
Diagonalizar A é encontrar uma base formada por autovetores de A. Se existe uma base de \mathbb{R}^n (ou \mathbb{C}^n) constituída por autovetores de A, então A é diagonalizável.
Procedimento padrão (o que faremos):
Calcular os autovalores (raízes do polinômio característico).
Para cada autovalor \lambda, achar o espaço próprio (autovetores): resolver (A-\lambda I)v=0.
Verificar se conseguimos n autovetores linearmente independentes. Em dimensão 2, se obtivermos dois autovetores independentes, já está diagonalizável.
Observação útil: se uma matriz 2\times2 tem dois autovalores distintos, então automaticamente ela é diagonalizável (pois os autovetores correspondentes a autovalores distintos são linearmente independentes).
Passo 3
Calcular o polinômio característico de A e seus autovalores.
Traço de A: \operatorname{tr}A = 1 + (-1) = 0.
Determinante de A: \det A = 1\cdot(-1) - 0\cdot6 = -1.
Conclusão sobre diagonalizabilidade a partir dos autovalores:
Os autovalores são \lambda=1 e \lambda=-1, que são distintos.
Como são dois autovalores distintos em uma matriz 2\times2, concluímos que existem dois autovetores linearmente independentes e, portanto, A é diagonalizável.
Sistema \left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\[4pt] 6 & -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\[4pt] y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\[4pt]0\end{array}\right] dá a equação
6x - 2y = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x - y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 3x.
Então os autovetores associados a \lambda=1 são todos os múltiplos de
Sistema \left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\[4pt] 6 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\[4pt] y\end{array}\right]=0 dá 2x=0\Rightarrow x=0. y é livre.
Então os autovetores associados a \lambda=-1 são múltiplos de