Uma empresa tem 5 caminhões de aluguel. Sabe-se que o aluguel é feito por dia e que a distribuição diária do número de caminhões alugados é a seguinte:
N^O caminhões alugados por dia 0 1 2 3 4 5
Probabilidade de alugar (%) 0,032 0,640 5,120 20,480 40,960 32,768
Calcular:
O número médio diário de caminhões alugados, bem como o desvio padrão;

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma empresa com 5 caminhões e sabe a probabilidade de ela alugar 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 caminhões num dia — esses números estão em porcentagem. O que a gente quer é:
  1. o número médio (expectância) de caminhões alugados por dia,
  2. o desvio padrão (que mede a “dispersão” em torno desse valor médio).
Conteúdo que vamos usar:
  • Distribuição de probabilidade discreta;
  • Fórmula da esperança E[X]=sumk k,pk;
  • Fórmula da variância Var(X)=E[X^2] - (E[X])^2 e depois desvio padrão sigma=raizVar(X).
    Pra isso primeiro convertendo as porcentagens em probabilidades (dividindo por 100).

Passo 2

Montamos uma tabelinha de (quantos caminhões) e (probabilidade):
k 0 1 2 3 4 5
% 0,032 0,640 5,120 20,480 40,960 32,768
(decimal) = %(k)/100 →

Passo 3

Calculando a esperança
E[X] ;=;sumk=0^5 k,pk =0cdot0,00032 +1cdot0,00640+2cdot0,05120+3cdot0,20480+4cdot0,40960+5cdot0,32768
Vamos fazer aos poucos:
1⋅0,00640=0,00640
2⋅0,05120=0,10240
3⋅0,20480=0,61440
4⋅0,40960=1,63840
5⋅0,32768=1,63840
Somando tudo dá
E[X]=0,00640+0,10240+0,61440+1,63840+1,63840 = 4,00000

Passo 4

Agora precisamos de E[X^2]=sumk=0^5 k^2,pk =0^2cdot0,00032 +1^2cdot0,00640+2^2cdot0,05120+3^2cdot0,20480+4^2cdot0,40960+5^2cdot0,32768 :
E[X^2]=0,00640+0,20480+1,84320+6,55360+8,19200 = 16,80000
Calculando cada termo:
1^2⋅0,00640=0,00640
2^2⋅0,05120=4⋅0,05120=0,20480
3^2⋅0,20480=9⋅0,20480=1,84320
4^2⋅0,40960=16⋅0,40960=6,55360
5^2⋅0,32768=25⋅0,32768=8,19200
Somando:

Passo 5

Com isso, a variância é
Var(X)=E[X^2] - (E[X])^2 =16,8 - (4,0)^2 =16,8 - 16 =0,8
E o desvio padrão
sigma = raizVar(X) = raiz0,8approx0,8944

Resposta

Número médio diário (esperança): caminhões
Desvio padrão: caminhões.

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