Seja: f(x)=4 x^3, 0 e igual a zero em outro caso.
Calcular a média, variância, assimetria e curtose;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma variável aleatória contínua X com densidade
f(x)= 4x^3, & 0á
O conteúdo aqui é cálculo de momentos de uma distribuição contínua: a média (1º momento), a variância (2º momento central), a assimetria (3º momento central padronizado) e a curtose (4º momento central padronizado).
Para resolver, a gente vai usar:
  • Definição de esperança .
  • Definição de momentos .
  • Fórmulas de variância e momentos centrais:
    ,
    ,
    .
  • Depois padronizamos para achar assimetria e curtose .

Passo 2

Calcular a média mu = integral0^1 x,(4x^3),dx =4integral0^1 x^4,dx =4[x^55]0^1 =45, :

Passo 3

Calcular E[X^2] =integral0^1 x^2,(4x^3),dx =4integral0^1 x^5,dx =4[x^66]0^1 =46=23 e a variância sigma^2 = Var(X) =E[X^2] - mu^2 =23 - (45)^2 =23 - 1625 =50-4875 =275 :
Então

Passo 4

Calcular a assimetria E[X^3] =integral0^1 x^3,(4x^3),dx =4integral0^1 x^6,dx =4[x^77]0^1 =47 . Primeiro o 3º momento m3 =E[(X-mu)^3] =E[X^3]-3mu,E[X^2]+2mu^3 =47-3cdot45cdot23 +2(45)^3 =-4875 :
sigma=raiz275=raiz615
O 3º momento central é
gamma1 =m3sigma^3 =-4/875(raiz6/15)^3 =-187raiz6 approx -1,05
E o desvio padrão
Logo a assimetria

Passo 5

Calcular a curtose E[X^4] =integral0^1 x^4,(4x^3),dx =4integral0^1 x^7,dx =4[x^88]0^1 =12 . Primeiro o 4º momento m4 =E[X^4]-4mu,E[X^3]+6mu^2,E[X^2]-3mu^4 =12 - 6435 + 19275-768625 =238750 :
sigma^4=l(275r)^2=45625,
O 4º momento central é
gamma2 =m4sigma^4 =23/87504/5625 =20756 approx 3,70
E como já temos ,
então a curtose (4º momento padronizado) é

Resposta

média ,
variância ,
assimetria ,
curtose .

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