Uma empresa tem 5 caminhões de aluguel. Sabe-se que o aluguel é feito por dia e que a distribuição diária do número de caminhões alugados é a seguinte:
N^O caminhões alugados por dia 0 1 2 3 4 5
Probabilidade de alugar (%) 0,032 0,640 5,120 20,480 40,960 32,768
Calcular:
A assimetria e a curtose da distribuição;

Passo 1

Beleza, a gente tem uma variável aleatória X = número de caminhões alugados por dia (de 0 a 5) com probabilidades dadas (%). O conteúdo é “momentos de uma distribuição discreta” e, em especial, queremos calcular a assimetria (skewness) e a curtose (kurtosis). Para isso vamos precisar:
  1. Calcular Assimetria = gamma1 = mu3sigma^3, Curtose = gamma2 = mu4sigma^4 (média) e (variância).
  2. Calcular os momentos centrais de ordem 3 e 4: e .
  3. Usar as fórmulas

Passo 2

Primeiro converte a tabela de porcentagem para probabilidade dividindo por 100. Fica:
p(0)=0,00032,;p(1)=0,0064,;p(2)=0,0512,;p(3)=0,2048,;p(4)=0,4096,;p(5)=0,32768
Agora vamos calcular a média .

Passo 3

Calculando a média:
mu = 0cdot0,00032 + 1cdot0,0064 + 2cdot0,0512 + 3cdot0,2048 + 4cdot0,4096 + 5cdot0,32768 = 4,0

Passo 4

Agora a variância E[X^2] = 0^2cdot0,00032 + 1^2cdot0,0064 + 2^2cdot0,0512 + 3^2cdot0,2048 + 4^2cdot0,4096 + 5^2cdot0,32768 = 4,8 . Primeiro sigma^2 = 4,8 - 4,0^2 = 4,8 - 16 = 0,8, sigma = raiz0,8approx0,8944 :
Então

Passo 5

Momento central de ordem 3:
mu3 = sum (x-mu)^3,p(x)
Fazendo a conta (ou usando a fórmula do binomial), dá .

Passo 6

Assimetria:
gamma1 = mu3sigma^3 = -0,48(0,8944)^3 approx -0,671

Passo 7

Momento central de ordem 4:
mu4 = sum (x-mu)^4,p(x) = 1,952
e, então,
gamma2 = mu4sigma^4 = 1,952(0,8944)^4 = 3,05

Resposta

Assimetria
Curtose

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