A percentagem de álcool (100x) em certo combustível pode ser considerada uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade:
f(x)=20 x^3 cdot(1-x), 0 <= x <= 1
Calcular a assimetria e a curtose, interpretando o resultado.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a porcentagem de álcool f(x)=20,x^3(1-x), 0<= x<=1 num combustível tem densidade
mu=E[X], sigma^2=E[(X-mu)^2], gamma1=E[(X-mu)^3]sigma^3, gamma2=E[(X-mu)^4]sigma^4-3
A matéria aqui é estatística de variáveis contínuas: vamos precisar calcular momentos (médias de potências de ), daí partir para momentos centrais (variância, etc.), e daí para assimetria (skewness) e curtose. As fórmulas-chave são:

Passo 2

Calcular os momentos crus
E[X^k]=integral0^1 x^k,f(x),dx =integral0^1 20,x^k+3(1-x),dx =20l[tfrac1k+4-tfrac1k+5r]
Então:



Passo 3

Momento central de 2ª ordem = variância
sigma^2 =E[X^2]-mu^2 =1021-l(23r)^2 =263
Momento central de 3ª ordem
mu3 =E[(X-mu)^3] =E[X^3]-3mu,E[X^2]+3mu^2E[X]-mu^3 =-1378
Então a assimetria é
gamma1 =mu3sigma^3 =-0,468(aprox)

Passo 4

Momento central de 4ª ordem
mu4 =E[X^4]-4mu E[X^3]+6mu^2E[X^2]-4mu^3E[X]+mu^4 approx0,002645
Curtose
gamma2 =mu4sigma^4-3 approx-0,375

Passo 5

Interpretação:
  • A assimetria negativa ( ) diz que a cauda “puxa” mais para a esquerda, isto é, a distribuição anda um pouco mais concentrada à direita.
  • A curtose de excesso negativa ( ) indica que a densidade é menos “pontuda” e tem caudas mais leves que a normal (distribuição platocúrtica).

Resposta

Assimetria ,
Curtose de excesso .

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