Uma empresa testou um novo software de organização de tarefas e mediu o número de tarefas concluídas por dia.
Funcionário
Antes
Depois
1
31
34
2
28
30
3
35
39
4
29
33
5
30
32
| Funcionário | Antes | Depois |
| 1 | 31 | 34 |
| 2 | 28 | 30 |
| 3 | 35 | 39 |
| 4 | 29 | 33 |
| 5 | 30 | 32 |
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado nos dá e o que vou responder (peguei estes números da tabela do enunciado).
Dados (número de tarefas por dia, antes e depois — peguei da tabela):
- Funcionário 1: Antes =
, Depois = - Funcionário 2: Antes =
, Depois = - Funcionário 3: Antes =
, Depois = - Funcionário 4: Antes =
, Depois = - Funcionário 5: Antes =
, Depois =
O que vou responder:
- Calcular a diferença por funcionário e a média das diferenças (ou seja, o aumento médio de tarefas por dia).
- Calcular a variabilidade (desvio padrão) das diferenças.
- Fazer um teste estatístico para verificar se o aumento médio é maior que zero (ou seja, se o software aumentou o número de tarefas concluídas), usando os dados pareados.
- Calcular um intervalo de confiança de 95% para a média das diferenças.
- Interpretar os resultados de forma prática.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular as diferenças ponto a ponto e a média das diferenças.
Definição e ideia (aula curta): como cada funcionário foi medido antes e depois, trabalhamos com as diferenças
. Essas diferenças formam uma amostra de tamanho
. A média amostral das diferenças é a estimativa do aumento médio por funcionário.
Cálculo das diferenças:
Agora a soma e a média amostral das diferenças:
Interpretação: a média amostral das diferenças é
, ou seja, em média houve um aumento de
tarefas por dia por funcionário.
Passo 3
Calcular a variabilidade das diferenças (desvio padrão amostral).
Conceito e fórmula (aula curta): o desvio padrão amostral
mede quanto as diferenças individuais variam em torno da média
. Primeiro calculamos a soma dos quadrados das diferenças em relação à média:
Depois
.
Calculemos os termos:
Soma dos quadrados:
Variância amostral e desvio:
Interpretação: o desvio padrão das diferenças é
. Isso significa que as diferenças típicas estão a cerca de
tarefa da média
.
Passo 4
Montar o teste de hipótese pareado e calcular a estatística de teste.
O que estamos testando (em termos matemáticos):
onde
é a média populacional das diferenças (média verdadeira do aumento por funcionário). A escolha de um teste pareado é natural porque cada funcionário serve de seu próprio controle (antes e depois).
Fórmula da estatística
para dados pareados:
onde
é o valor sob
(aqui
),
é o desvio padrão amostral das diferenças e
é o número de pares. Os graus de liberdade são
.
Substituindo os números que calculamos:
Como
, temos
Graus de liberdade:
.
Breve interpretação: um
tão grande indica que a média observada está bem acima do que seria plausível sob
.
Passo 5
Avaliar o valor-p (p-value) e tirar conclusão do teste.
Como interpretar o
: para
graus de liberdade consultam-se tabelas da distribuição
. Valores de referência (da tabela
):
-
(duas caudas) é aproximadamente . -
(duas caudas) é aproximadamente .
Nosso
é bem maior que
, portanto o p-valor bidirecional é menor que
. Como temos um teste unilateral
, o p-valor unilateral será metade do p-valor bilateral — em qualquer caso, é muito pequeno. Podemos afirmar com segurança prática:
Conclusão do teste (tomando nível usual
): rejeitamos
. Há evidência estatística forte de que o software aumentou o número médio de tarefas concluídas por dia.
Passo 6
Calcular o intervalo de confiança de
para
.
Fórmula do intervalo de confiança para a média das diferenças:
Aqui
,
, então
(valor na tabela
).
Calcule a margem de erro:
Portanto o intervalo é:
Interpretação prática: com
de confiança, o aumento médio real no número de tarefas por dia está entre aproximadamente
e
tarefas.
Passo 7
Resumo interpretativo e incentivo (curta e direta): os dados mostram um aumento médio observado de
tarefas/dia, esse aumento é estatisticamente significativo (p-valor muito pequeno) e o intervalo de confiança sugere que o aumento verdadeiro está entre cerca de
e
tarefas/dia. Excelente — isso indica que o novo software provavelmente está ajudando a equipe (ufa! você sobreviveu à conta sem calculadora).
Resposta
Média do aumento:
tarefas/dia.
Desvio padrão das diferenças: .
Estatística do teste: com
.
p-valor (unilateral): (p-valor bilateral:
).
Intervalo de confiança de para
:
.
Conclusão: rejeita-se ; há evidência estatística de que o software aumentou o número médio de tarefas concluídas.
Desvio padrão das diferenças:
Estatística do teste:
p-valor (unilateral):
Intervalo de confiança de
Conclusão: rejeita-se