Uma empresa testou um novo software de organização de tarefas e mediu o número de tarefas concluídas por dia.
Funcionário Antes Depois
1 31 34
2 28 30
3 35 39
4 29 33
5 30 32

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado nos dá e o que vou responder (peguei estes números da tabela do enunciado).
Dados (número de tarefas por dia, antes e depois — peguei da tabela):
  • Funcionário 1: Antes = 31, Depois = 34
  • Funcionário 2: Antes = 28, Depois = 30
  • Funcionário 3: Antes = 35, Depois = 39
  • Funcionário 4: Antes = 29, Depois = 33
  • Funcionário 5: Antes = 30, Depois = 32
O que vou responder:
  1. Calcular a diferença por funcionário e a média das diferenças (ou seja, o aumento médio de tarefas por dia).
  2. Calcular a variabilidade (desvio padrão) das diferenças.
  3. Fazer um teste estatístico para verificar se o aumento médio é maior que zero (ou seja, se o software aumentou o número de tarefas concluídas), usando os dados pareados.
  4. Calcular um intervalo de confiança de 95% para a média das diferenças.
  5. Interpretar os resultados de forma prática.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular as diferenças ponto a ponto e a média das diferenças.
Definição e ideia (aula curta): como cada funcionário foi medido antes e depois, trabalhamos com as diferenças d_i = \text{Depois}_i - \text{Antes}_i. Essas diferenças formam uma amostra de tamanho n. A média amostral das diferenças é a estimativa do aumento médio por funcionário.
Cálculo das diferenças:
  • d_1 = 34 - 31 = 3
  • d_2 = 30 - 28 = 2
  • d_3 = 39 - 35 = 4
  • d_4 = 33 - 29 = 4
  • d_5 = 32 - 30 = 2
Agora a soma e a média amostral das diferenças:
\sum_{i=1}^{5} d_i = 3 + 2 + 4 + 4 + 2 = 15.
\bar{d} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} d_i = \frac{15}{5} = 3.
Interpretação: a média amostral das diferenças é \bar{d}=3, ou seja, em média houve um aumento de 3 tarefas por dia por funcionário.

Passo 3

Calcular a variabilidade das diferenças (desvio padrão amostral).
Conceito e fórmula (aula curta): o desvio padrão amostral s_d mede quanto as diferenças individuais variam em torno da média \bar{d}. Primeiro calculamos a soma dos quadrados das diferenças em relação à média:
s_d^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (d_i - \bar{d})^2.
Depois s_d = \sqrt{s_d^2}.
Calculemos os termos:
  • d_1 - \bar{d} = 3-3 = 0 \Rightarrow (0)^2 = 0
  • d_2 - \bar{d} = 2-3 = -1 \Rightarrow (-1)^2 = 1
  • d_3 - \bar{d} = 4-3 = 1 \Rightarrow 1^2 = 1
  • d_4 - \bar{d} = 4-3 = 1 \Rightarrow 1^2 = 1
  • d_5 - \bar{d} = 2-3 = -1 \Rightarrow (-1)^2 = 1
Soma dos quadrados:
\sum_{i=1}^{5} (d_i - \bar{d})^2 = 0 + 1 + 1 + 1 + 1 = 4.
Variância amostral e desvio:
s_d^2 = \frac{4}{n-1} = \frac{4}{4} = 1.
s_d = \sqrt{1} = 1.
Interpretação: o desvio padrão das diferenças é s_d=1. Isso significa que as diferenças típicas estão a cerca de 1 tarefa da média \bar{d}=3.

Passo 4

Montar o teste de hipótese pareado e calcular a estatística de teste.
O que estamos testando (em termos matemáticos):
H_0:\\ \mu_d = 0
H_1:\\ \mu_d > 0
onde \mu_d é a média populacional das diferenças (média verdadeira do aumento por funcionário). A escolha de um teste pareado é natural porque cada funcionário serve de seu próprio controle (antes e depois).
Fórmula da estatística t para dados pareados:
t = \frac{\bar{d} - \mu_{d,0}}{s_d/\sqrt{n}},
onde \mu_{d,0} é o valor sob H_0 (aqui \mu_{d,0}=0), s_d é o desvio padrão amostral das diferenças e n é o número de pares. Os graus de liberdade são \nu = n-1.
Substituindo os números que calculamos:
t = \frac{3 - 0}{1/\sqrt{5}} = 3 \cdot \sqrt{5}.
Como \sqrt{5}\approx 2,236, temos
t \approx 3 \times 2,236 \approx 6,708.
Graus de liberdade: \nu = 5-1 = 4.
Breve interpretação: um t tão grande indica que a média observada está bem acima do que seria plausível sob H_0.

Passo 5

Avaliar o valor-p (p-value) e tirar conclusão do teste.
Como interpretar o t: para \nu=4 graus de liberdade consultam-se tabelas da distribuição t. Valores de referência (da tabela t):
  • t_{0{,}05,\; \nu=4} (duas caudas) é aproximadamente 2{,}776.
  • t_{0{,}01,\; \nu=4} (duas caudas) é aproximadamente 4{,}604.
Nosso t \approx 6{,}708 é bem maior que 4{,}604, portanto o p-valor bidirecional é menor que 0{,}01. Como temos um teste unilateral H_1:\mu_d>0, o p-valor unilateral será metade do p-valor bilateral — em qualquer caso, é muito pequeno. Podemos afirmar com segurança prática:
\text{o p-valor (unilateral)} < 0{,}005.
Conclusão do teste (tomando nível usual \alpha = 0{,}05): rejeitamos H_0. Há evidência estatística forte de que o software aumentou o número médio de tarefas concluídas por dia.

Passo 6

Calcular o intervalo de confiança de 95\% para \mu_d.
Fórmula do intervalo de confiança para a média das diferenças:
\bar{d} \pm t_{1-\alpha/2,\;\nu}\cdot \frac{s_d}{\sqrt{n}}.
Aqui \nu=4, \alpha=0{,}05, então t_{1-\alpha/2,\;4}=t_{0{,}975,\;4}\approx 2{,}776 (valor na tabela t).
Calcule a margem de erro:
\text{ME} = 2{,}776 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 2{,}776 \cdot 0{,}4472 \approx 1{,}241.
Portanto o intervalo é:
3 \pm 1{,}241 \Rightarrow (3 - 1{,}241,\\\ 3 + 1{,}241) = (1{,}759,\\\ 4{,}241).
Interpretação prática: com 95\% de confiança, o aumento médio real no número de tarefas por dia está entre aproximadamente 1{,}76 e 4{,}24 tarefas.

Passo 7

Resumo interpretativo e incentivo (curta e direta): os dados mostram um aumento médio observado de 3 tarefas/dia, esse aumento é estatisticamente significativo (p-valor muito pequeno) e o intervalo de confiança sugere que o aumento verdadeiro está entre cerca de 1{,}76 e 4{,}24 tarefas/dia. Excelente — isso indica que o novo software provavelmente está ajudando a equipe (ufa! você sobreviveu à conta sem calculadora).

Resposta

Média do aumento: \bar{d}=3 tarefas/dia.
Desvio padrão das diferenças: s_d=1.
Estatística do teste: t\approx6{,}708 com \nu=4.
p-valor (unilateral): <0{,}005 (p-valor bilateral: <0{,}01).
Intervalo de confiança de 95\% para \mu_d: (1{,}759,\\\ 4{,}241).
Conclusão: rejeita-se H_0; há evidência estatística de que o software aumentou o número médio de tarefas concluídas.

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