Seja \left\{X_{n}: n \geq 1\right\} uma sequência de variáveis aleatórias tal que X_{n} \sim \operatorname{Exp}(1 / 2). Defina Y_{n}=\bar{X}_{n}=\frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}}{n} e W_{n}=Y_{n}^{2}.
(a) Mostre que Y_{n} \xrightarrow{P} 2.
(b) Mostre que W_{n} \xrightarrow{P} 4.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Informação sobre a sequência:
Temos uma sequência de variáveis aleatórias \{X_{n}: n\ge 1\} com X_{n}\sim \operatorname{Exp}(1/2) para todo n.
Foram definidas as variáveis amostraisY_{n}=\bar{X}_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i} \quad\text{e}\quad W_{n}=Y_{n}^{2}.
O que o enunciado pede:
(a) Mostrar que Y_{n}\xrightarrow{P}2 (convergência em probabilidade para 2).
(b) Mostrar que W_{n}\xrightarrow{P}4 (convergência em probabilidade para 4).
Dados relevantes que vamos usar (extraídos do enunciado e da distribuição):
A distribuição \operatorname{Exp}(1/2) significa que a função densidade éf_X(x)=\frac{1}{2}e^{-x/2},\qquad x\ge 0.
Dessa distribuição vamos precisar da esperança e da variância (serão usadas na desigualdade de Chebyshev).
Passo 2
Vamos lembrar e aprender algumas ferramentas que usaremos — com calma, passo a passo.
Definição de convergência em probabilidade.
Dizemos que uma sequência \{Z_n\} converge em probabilidade para z e escrevemos Z_n\xrightarrow{P} z se, para todo \varepsilon>0,\lim_{n\to\infty} P\bigl(|Z_n-z|>\varepsilon\bigr)=0.Em palavras: a probabilidade de a variável Z_n ficar a mais de \varepsilon de z tende a zero quando n cresce.
A desigualdade de Chebyshev (ferramenta básica e muito útil).
Se U é uma variável com esperança finita \mu=E[U] e variância finita \sigma^{2}=\operatorname{Var}(U), então para todo \varepsilon>0P\bigl(|U-\mu|>\varepsilon\bigr)\le \frac{\sigma^{2}}{\varepsilon^{2}}.Esta desigualdade nos dá um limite superior da probabilidade de desvios da média em termos da variância — perfeito para mostrar convergência em probabilidade quando a variância vai a zero.
Esperança e variância de \operatorname{Exp}(\lambda).
Para uma variável X\sim\operatorname{Exp}(\lambda) (taxa \lambda>0) valem as fórmulas clássicasE[X]=\frac{1}{\lambda},\qquad \operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\lambda^{2}}.
No nosso caso \lambda=1/2. EntãoE[X_{n}]=\frac{1}{1/2}=2,\qquad \operatorname{Var}(X_{n})=\frac{1}{(1/2)^{2}}=4.(Se quiser, essas fórmulas vêm de integrais como E[X]=\int_{0}^{\infty} x\lambda e^{-\lambda x}\,dx que se resolve por partes; aqui usaremos as fórmulas prontas.)
Variância da média amostral quando as X_i são i.i.d.
Assumimos (como é padrão neste tipo de exercício) que X_1,\dots,X_n são independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com esperança E[X_i]=\mu e variância \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2.
Então para Y_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i valemE[Y_n]=\mu,\qquad \operatorname{Var}(Y_n)=\frac{\sigma^{2}}{n}.A variância cai como 1/n — isso é a chave para a convergência.
Passo 3
Prova do item (a): mostrar que Y_n\xrightarrow{P}2.
Identificar \mu e \sigma^{2} no nosso caso.
Como vimos, para cada X_i temos E[X_i]=2 e \operatorname{Var}(X_i)=4. Logo \mu=2 e \sigma^{2}=4.
Calcular esperança e variância de Y_n.
Pela propriedade das médias amostrais,E[Y_n]=\mu=2, \qquad \operatorname{Var}(Y_n)=\frac{\sigma^{2}}{n}=\frac{4}{n}.
Aplicar Chebyshev para obter a convergência em probabilidade.
Seja \varepsilon>0 qualquer. Pela desigualdade de Chebyshev,P\bigl(|Y_n-2|>\varepsilon\bigr)\le \frac{\operatorname{Var}(Y_n)}{\varepsilon^{2}}=\frac{4}{n\varepsilon^{2}}.
O lado direito \dfrac{4}{n\varepsilon^{2}} tende a 0 quando n\to\infty. Portanto, para todo \varepsilon>0,\lim_{n\to\infty} P\bigl(|Y_n-2|>\varepsilon\bigr)=0,o que é exatamente a definição de Y_n\xrightarrow{P}2.
Comentário amigo: pensa assim — a média tem variância \frac{4}{n}, que vai para zero; então as chances de estar longe da média verdadeira 2 vão a zero. É o cerne da Lei dos Grandes Números, aqui feito explicitamente com Chebyshev.
Passo 4
Prova do item (b): mostrar que W_n=Y_n^{2}\xrightarrow{P}4.
Vou explicar duas maneiras (a mais conceitual e uma mais elementar), assim você aprende e pode escolher na prova.
Método 1 — Teorema do Mapeamento Contínuo (mais direto):
Existe um resultado geral: se Z_n\xrightarrow{P}z e g é uma função contínua em z, então g(Z_n)\xrightarrow{P}g(z).
No nosso caso, tomamos Z_n=Y_n, já mostramos Y_n\xrightarrow{P}2, e tomamos g(x)=x^{2}. A função g é contínua em todo ponto, em particular em x=2. Assim pelo teorema do mapeamento contínuoW_n=g(Y_n)=Y_n^{2}\xrightarrow{P}g(2)=2^{2}=4.
Método 2 — Prova elementar por manipulação de probabilidades (sem citar o teorema):
Queremos mostrar que, para todo \varepsilon>0,P\bigl(|Y_n^{2}-4|>\varepsilon\bigr)\to 0.
Observe que|Y_n^{2}-4|=|Y_n-2||Y_n+2|.
Faça a seguinte decomposição útil: escolha um número fixo (por exemplo 1) e escreva\{\,|Y_n^{2}-4|>\varepsilon\,\}\subseteq \{\,|Y_n-2|>1\,\}\\ \cup\\ \{\,|Y_n-2|\le 1\\ \text{ e }\\ |Y_n^{2}-4|>\varepsilon\,\}.No segundo conjunto, se |Y_n-2|\le 1 então |Y_n+2|\le 5, logo|Y_n^{2}-4|=|Y_n-2||Y_n+2|\le 5|Y_n-2|.Assim, dentro desse conjunto temos 5|Y_n-2|>\varepsilon, ou seja |Y_n-2|>\varepsilon/5. Portanto\{\,|Y_n^{2}-4|>\varepsilon\,\}\subseteq \{\,|Y_n-2|>1\,\}\\ \cup\\ \{\,|Y_n-2|>\varepsilon/5\,\}.
Tomando probabilidades e usando subaditividade,P\bigl(|Y_n^{2}-4|>\varepsilon\bigr)\le P\bigl(|Y_n-2|>1\bigr)+P\bigl(|Y_n-2|>\varepsilon/5\bigr).
Como já mostramos em (a) que Y_n\xrightarrow{P}2, ambos os termos do lado direito tendem a zero quando n\to\infty. Logo o lado esquerdo tende a zero, isto é Y_n^{2}\xrightarrow{P}4.
Comentário amigo: a versão elementar é boa porque você não precisa lembrar do teorema do mapeamento — ela transforma o problema em probabilidades sobre Y_n e usa que Y_n já converge em probabilidade.
Passo 5
Conclusões finais, resumindo o raciocínio para usar na prova:
Calcule a esperança e variância da \operatorname{Exp}(1/2): E[X]=2, \operatorname{Var}(X)=4.
Mostre que \operatorname{Var}(Y_n)=4/n e aplique Chebyshev para obter Y_n\xrightarrow{P}2.
Em seguida, use a continuidade da função x\mapsto x^{2} (ou o argumento elementar) para concluir Y_n^{2}\xrightarrow{P}4.