Uma fazenda de médio porte no interior do Mato Grosso está avaliando a adoção de um novo fertilizante biológico desenvolvido para aumentar a produtividade das lavouras de soja. Para decidir se o investimento é economicamente viável, o engenheiro agrônomo responsável conduz um experimento comparativo entre duas áreas semelhantes da fazenda: uma utilizando o novo fertilizante e outra seguindo as práticas tradicionais. Ao final da safra, mediu-se a produtividade em kg/ha para amostras independentes das duas áreas.
Os resultados foram:
  • Com fertilizante (Grupo 1): n_{1}=20, \bar{x}_{1}=3,28, s_{1}=0,41
  • Sem fertilizante (Grupo 2): n_{2}=18, \bar{x}_{2}=3,10, s_{2}=0,38

Passo 1

O enunciado dá os resultados de um experimento comparando duas áreas independentes (uma com o novo fertilizante e outra sem). Vou listar claramente o que foi dado e qual(ais) pergunta(s) vou responder (assumindo o objetivo mais comum nesse tipo de problema):
Dados fornecidos:
  • Grupo 1 (com fertilizante): n_{1}=20, \bar{x}_{1}=3,28 (kg/ha), s_{1}=0,41.
  • Grupo 2 (sem fertilizante): n_{2}=18, \bar{x}_{2}=3,10 (kg/ha), s_{2}=0,38.
Perguntas que vou responder (assumindo o objetivo típico):
  1. Existe evidência estatística, ao nível de significância \alpha=0,05, de que o novo fertilizante aumenta a produtividade média (ou seja, \mu_1>\mu_2)?
  2. Qual é a estimativa do aumento médio e o intervalo de confiança de 95\% para a diferença \mu_1-\mu_2?
    (Se sua prova pedia outro nível de significado ou teste bilateral, os mesmos passos servem; só troca-se \alpha ou a forma da hipótese.)

Passo 2

Qual método de teste usar e por quê (explicação didática):
  • Estamos comparando médias de duas amostras independentes, com tamanhos relativamente pequenos ( n_1<30, n_2<30).
  • Há duas abordagens principais: o teste t de duas amostras com variâncias assumidas iguais (teste t pareado por pool) ou o teste de Welch (não assume variâncias iguais).
  • Aqui as amostras têm variâncias amostrais próximas, mas não idênticas ( s_{1}=0,41 e s_{2}=0,38), e não há razão forte para assumir igualdade perfeita das variâncias na população. O teste de Welch é mais robusto quando a igualdade de variâncias é duvidosa e é o procedimento recomendado por padrão.
  • Portanto vou usar o teste t de Welch (teste t para duas amostras independentes com variâncias possivelmente diferentes).
Explicação curta do que é o teste de Welch:
  • Ele testa a diferença de médias usando uma estatística que compara a diferença amostral \bar{x}_1-\bar{x}_2 com seu erro padrão estimado, usando uma distribuição t com graus de liberdade aproximados calculados pela fórmula de Welch–Satterthwaite.

Passo 3

Formular as hipóteses e escolher o nível de significância:
  • Hipótese nula (sem efeito): \;H_0:\mu_1=\mu_2.
  • Hipótese alternativa (fertilizante aumenta produtividade): \;H_1:\mu_1>\mu_2 (teste unilaterial à direita).
  • Nível de significância escolhido: \alpha=0,05.

Passo 4

Fórmula da estatística de teste e cálculo do erro padrão:
  • A estatística de Welch é
t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^{2}}{n_1}+\dfrac{s_2^{2}}{n_2}}}.
Aqui s_1^{2} e s_2^{2} são as variâncias amostrais, n_1 e n_2 os tamanhos amostrais, e o denominador é o erro padrão combinado da diferença das médias.
Calculemos passo a passo:
  • \;s_1^{2}=0,41^{2}=0,1681.
  • \;s_2^{2}=0,38^{2}=0,1444.
  • \dfrac{s_1^{2}}{n_1}=\dfrac{0,1681}{20}=0,008405.
  • \dfrac{s_2^{2}}{n_2}=\dfrac{0,1444}{18}\approx0,008022222.
  • Soma: \;0,008405+0,008022222=0,016427222.
  • Erro padrão (desvio padrão da diferença):
\text{SE}=\sqrt{0,016427222}\approx0,128165.

Passo 5

Cálculo da estatística t:
  • Diferença das médias: \bar{x}_1-\bar{x}_2=3,28-3,10=0,18 (kg/ha).
  • Logo
t=\frac{0,18}{0,128165}\approx1,404.
Esse é o valor da estatística de teste; valores maiores favorecem H_1.

Passo 6

Graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch–Satterthwaite) e cálculo:
  • A fórmula é
\nu\approx\frac{\left(\dfrac{s_1^{2}}{n_1}+\dfrac{s_2^{2}}{n_2}\right)^{2}}{\dfrac{\left(\dfrac{s_1^{2}}{n_1}\right)^{2}}{n_1-1}+\dfrac{\left(\dfrac{s_2^{2}}{n_2}\right)^{2}}{n_2-1}}.
Substituindo os números já calculados:
  • Numerador: (0,016427222)^{2}\approx0,000269857.
  • Denominador:
    \dfrac{(0,008405)^{2}}{19}+\dfrac{(0,008022222)^{2}}{17}\approx\dfrac{0,000070663}{19}+\dfrac{0,000064356}{17}
    \approx0,0000037181+0,0000037857=0,0000075038.
  • Portanto
\nu\approx\frac{0,000269857}{0,0000075038}\approx35,97\approx36\,.
Assim podemos usar aproximadamente \nu=36 graus de liberdade para tabelas ou cálculo do p‑valor.

Passo 7

Cálculo do p‑valor e decisão:
  • Como o teste é unilateral à direita, o p‑valor é \;p = 1 - F_{t,\nu}(t), onde F_{t,\nu} é a função de distribuição acumulada da t com \nu graus de liberdade.
  • Para t\approx1,404 e \nu\approx36, a p‑valor unilateral é aproximadamente p\approx0,085 (ou seja, cerca de 8,5\%).
  • Comparando com \alpha=0,05: p=0,085>\alpha=0,05. Logo não rejeitamos H_0 ao nível de 5\%.
  • Interpretação em palavras: com os dados coletados não há evidência estatística suficiente, a 5\%, para afirmar que o fertilizante aumenta a produtividade média.

Passo 8

Intervalo de confiança de 95\% para a diferença \mu_1-\mu_2 (explicação e cálculo):
  • O intervalo de confiança bilateral de 100(1-\alpha)\% para \mu_1-\mu_2 usando Welch é
(\bar{x}_1-\bar{x}_2)\pm t_{1-\alpha/2,\nu}\cdot\text{SE},
onde t_{1-\alpha/2,\nu} é o quantil superior da distribuição t com \nu graus de liberdade.
  • Para \nu\approx36 e nível 95\%, t_{0,975,36}\approx2,028.
  • Margem de erro: 2,028\times0,128165\approx0,260.
  • Assim o intervalo é
0,18\pm0,260 \Rightarrow (\;0,18-0,260,\;0,18+0,260\;)\approx(-0,080,\;0,440).
  • Interpretação: com 95\% de confiança a diferença média verdadeira \mu_1-\mu_2 está entre aproximadamente -0,080 e 0,440 kg/ha. Como o intervalo inclui 0, isso é consistente com o resultado do teste (não rejeição de H_0).

Passo 9

Conclusão prática e observações finais (didática e encorajamento):
  • Resultado estatístico: não há evidência estatística suficiente, ao nível de 5\%, para afirmar que o fertilizante aumentou a produtividade média da soja nas áreas comparadas.
  • Observação prática: a média amostral sugere um aumento de 0,18 kg/ha, mas a incerteza é relativamente grande em relação a esse ganho (o intervalo de confiança inclui zero). Isso pode significar que o efeito real é pequeno ou que a amostra é pequena para detectar um efeito modesto.
  • Sugestão para a prova/prática: se na prova pedirem o procedimento, descreva que usou o teste de Welch, mostre o cálculo do erro padrão, da estatística t, dos graus de liberdade por Welch, do p‑valor (ou comparação com t_{crit}) e, se pedirem, construa o intervalo de confiança. Se estiver avaliando decisão de investimento, também pense em relevância prática (ganho econômico) além da significância estatística.
  • Força aí — esse tipo de questão é chata, mas seguindo os passos fica tranquilo: formular hipóteses, escolher teste, calcular estatística, obter p‑valor/decisão e interpretar.

Resposta

Não há evidência estatística ao nível \alpha=0,05 de que o fertilizante aumente a produtividade média (não rejeita-se H_0).
Estatística de teste: t\approx1,404.
Graus de liberdade aproximados: \nu\approx36.
p‑valor (unilateral, H_1:\mu_1>\mu_2): p\approx0,085.
Estimativa da diferença: \bar{x}_1-\bar{x}_2=0,18 kg/ha.
Intervalo de confiança de 95\% para \mu_1-\mu_2: (-0,080,\;0,440) kg/ha.

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