Uma fazenda de médio porte no interior do Mato Grosso está avaliando a adoção de um novo fertilizante biológico desenvolvido para aumentar a produtividade das lavouras de soja. Para decidir se o investimento é economicamente viável, o engenheiro agrônomo responsável conduz um experimento comparativo entre duas áreas semelhantes da fazenda: uma utilizando o novo fertilizante e outra seguindo as práticas tradicionais. Ao final da safra, mediu-se a produtividade em kg/ha para amostras independentes das duas áreas.
Os resultados foram:
- Com fertilizante (Grupo 1):
- Sem fertilizante (Grupo 2):
Os resultados foram:
Passo 1
O enunciado dá os resultados de um experimento comparando duas áreas independentes (uma com o novo fertilizante e outra sem). Vou listar claramente o que foi dado e qual(ais) pergunta(s) vou responder (assumindo o objetivo mais comum nesse tipo de problema):
Dados fornecidos:
- Grupo 1 (com fertilizante):
, (kg/ha), . - Grupo 2 (sem fertilizante):
, (kg/ha), .
Perguntas que vou responder (assumindo o objetivo típico):
- Existe evidência estatística, ao nível de significância
, de que o novo fertilizante aumenta a produtividade média (ou seja, )? - Qual é a estimativa do aumento médio e o intervalo de confiança de
para a diferença ?
(Se sua prova pedia outro nível de significado ou teste bilateral, os mesmos passos servem; só troca-seou a forma da hipótese.)
Passo 2
Qual método de teste usar e por quê (explicação didática):
- Estamos comparando médias de duas amostras independentes, com tamanhos relativamente pequenos (
). - Há duas abordagens principais: o teste t de duas amostras com variâncias assumidas iguais (teste t pareado por pool) ou o teste de Welch (não assume variâncias iguais).
- Aqui as amostras têm variâncias amostrais próximas, mas não idênticas (
e ), e não há razão forte para assumir igualdade perfeita das variâncias na população. O teste de Welch é mais robusto quando a igualdade de variâncias é duvidosa e é o procedimento recomendado por padrão. - Portanto vou usar o teste t de Welch (teste t para duas amostras independentes com variâncias possivelmente diferentes).
Explicação curta do que é o teste de Welch:
- Ele testa a diferença de médias usando uma estatística que compara a diferença amostral
com seu erro padrão estimado, usando uma distribuição t com graus de liberdade aproximados calculados pela fórmula de Welch–Satterthwaite.
Passo 3
Formular as hipóteses e escolher o nível de significância:
- Hipótese nula (sem efeito):
. - Hipótese alternativa (fertilizante aumenta produtividade):
(teste unilaterial à direita). - Nível de significância escolhido:
.
Passo 4
Fórmula da estatística de teste e cálculo do erro padrão:
- A estatística de Welch é
Aqui
e
são as variâncias amostrais,
e
os tamanhos amostrais, e o denominador é o erro padrão combinado da diferença das médias.
Calculemos passo a passo:
-
-
-
-
- Soma:
- Erro padrão (desvio padrão da diferença):
Passo 5
Cálculo da estatística
:
- Diferença das médias:
(kg/ha). - Logo
Esse é o valor da estatística de teste; valores maiores favorecem
.
Passo 6
Graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch–Satterthwaite) e cálculo:
- A fórmula é
Substituindo os números já calculados:
- Numerador:
- Denominador:
- Portanto
Assim podemos usar aproximadamente
graus de liberdade para tabelas ou cálculo do p‑valor.
Passo 7
Cálculo do p‑valor e decisão:
- Como o teste é unilateral à direita, o p‑valor é
, onde é a função de distribuição acumulada da com graus de liberdade. - Para
e , a p‑valor unilateral é aproximadamente (ou seja, cerca de ). - Comparando com
: . Logo não rejeitamos ao nível de . - Interpretação em palavras: com os dados coletados não há evidência estatística suficiente, a
, para afirmar que o fertilizante aumenta a produtividade média.
Passo 8
Intervalo de confiança de
para a diferença
(explicação e cálculo):
- O intervalo de confiança bilateral de
para usando Welch é
onde
é o quantil superior da distribuição
com
graus de liberdade.
- Para
e nível , . - Margem de erro:
- Assim o intervalo é
- Interpretação: com
de confiança a diferença média verdadeira está entre aproximadamente e kg/ha. Como o intervalo inclui , isso é consistente com o resultado do teste (não rejeição de ).
Passo 9
Conclusão prática e observações finais (didática e encorajamento):
- Resultado estatístico: não há evidência estatística suficiente, ao nível de
, para afirmar que o fertilizante aumentou a produtividade média da soja nas áreas comparadas. - Observação prática: a média amostral sugere um aumento de
kg/ha, mas a incerteza é relativamente grande em relação a esse ganho (o intervalo de confiança inclui zero). Isso pode significar que o efeito real é pequeno ou que a amostra é pequena para detectar um efeito modesto. - Sugestão para a prova/prática: se na prova pedirem o procedimento, descreva que usou o teste de Welch, mostre o cálculo do erro padrão, da estatística
, dos graus de liberdade por Welch, do p‑valor (ou comparação com ) e, se pedirem, construa o intervalo de confiança. Se estiver avaliando decisão de investimento, também pense em relevância prática (ganho econômico) além da significância estatística. - Força aí — esse tipo de questão é chata, mas seguindo os passos fica tranquilo: formular hipóteses, escolher teste, calcular estatística, obter p‑valor/decisão e interpretar.
Resposta
Não há evidência estatística ao nível
de que o fertilizante aumente a produtividade média (não rejeita-se
).
Estatística de teste: .
Graus de liberdade aproximados: .
p‑valor (unilateral, ):
.
Estimativa da diferença: kg/ha.
Intervalo de confiança de para
:
kg/ha.
Estatística de teste:
Graus de liberdade aproximados:
p‑valor (unilateral,
Estimativa da diferença:
Intervalo de confiança de