Em uma empresa, os três melhores funcionários serão premiados e dividirão um valor de \mathrm{R} \ 38.200$ de forma inversamente proporcional ao número de vendas perdidas durante o ano. Sabendo que o funcionário que ficou em primeiro lugar perdeu 28 vendas, o segundo, 32 , e o terceiro, 36 , o valor recebido pelo funcionário que perdeu menos vendas é igual a:
a) \mathrm{R} \ 8.600
b) \mathrm{R} \ 9.000
c) \mathrm{R} \ 10.500
d) \mathrm{R} \ 11.200
e) \mathrm{R} \ 14.400

Passo 1

O enunciado dá que três funcionários vão dividir \mathrm{R} \$ 38.200 de forma inversamente proporcional ao número de vendas perdidas no ano. Os dados numéricos são:
  • Funcionário que ficou em primeiro lugar: 28 vendas perdidas (é quem perdeu menos).
  • Segundo colocado: 32 vendas perdidas.
  • Terceiro colocado: 36 vendas perdidas.
    O que o problema pede: determinar o valor recebido pelo funcionário que perdeu menos vendas (ou seja, o de 28 perdas).

Passo 2

Entendendo “dividir em proporção inversa”: quando quantias são distribuídas inversamente proporcionais a certos números x_1,x_2,x_3, isso significa que cada quantia é proporcional ao recíproco desses números, isto é, proporcional a 1/x_1,1/x_2,1/x_3.
Vamos traduzir isso em fórmula. Seja A_1,A_2,A_3 os valores recebidos pelos funcionários com perdas x_1=28, x_2=32, x_3=36. Então existem constantes k tais que:
A_1 = k\cdot\frac{1}{28},\qquad A_2 = k\cdot\frac{1}{32},\qquad A_3 = k\cdot\frac{1}{36}.
Como a soma dos três valores é \mathrm{R} \$ 38.200, vale:
A_1+A_2+A_3 = k\left(\frac{1}{28}+\frac{1}{32}+\frac{1}{36}\right)=38200.
A tarefa é achar k e depois A_1 (pois A_1 corresponde ao funcionário que perdeu menos vendas).

Passo 3

Calcular a soma dos recíprocos
S=\frac{1}{28}+\frac{1}{32}+\frac{1}{36}.
Para somar frações é conveniente usar um denominador comum. Os fatores primos são:
28=2^2\cdot7,\qquad 32=2^5,\qquad 36=2^2\cdot3^2.
O mínimo múltiplo comum é
\mathrm{mcm}=2^5\cdot3^2\cdot7=32\cdot9\cdot7=2016.
Agora escrevemos cada fração com denom. 2016:
\frac{1}{28}=\frac{2016/28}{2016}=\frac{72}{2016}, \qquad \frac{1}{32}=\frac{2016/32}{2016}=\frac{63}{2016}, \qquad \frac{1}{36}=\frac{2016/36}{2016}=\frac{56}{2016}.
Somando numeradores:
S=\frac{72+63+56}{2016}=\frac{191}{2016}.

Passo 4

Usando S=\dfrac{191}{2016} na equação da soma:
k\cdot S = 38200 \quad\Rightarrow\quad k = \frac{38200}{S} = 38200\cdot\frac{2016}{191}.
Calculemos passo a passo:
38200\cdot2016 = 38200\cdot(2000+16)=38200\cdot2000+38200\cdot16=76\,400\,000+611\,200=77\,011\,200.
Agora divide-se por 191. Observando que
191\times403\,200 = 191\times(400000+3200)=76\,400\,000+611\,200=77\,011\,200,
segue que
k=403\,200.

Passo 5

Agora calculamos o valor recebido pelo funcionário que perdeu 28 vendas:
A_1 = k\cdot\frac{1}{28} = \frac{403\,200}{28}.
Fazendo a divisão:
\frac{403\,200}{28}=14\,400,
pois 28\times14\,400=403\,200.

Passo 6

Se quisermos verificar, os outros valores seriam
A_2 = \frac{403\,200}{32}=12\,600,\qquad A_3=\frac{403\,200}{36}=11\,200.
Somando: 14\,400+12\,600+11\,200=38\,200, que confere com o total.

Resposta

e) \mathrm{R} \$ 14.400

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