Uma empresa utilizou
4.000,00
15 / 06 / 2018
$42,00$. Qual foi a taxa mensal de juros dessa operação, considerando as capitalizações simples e composta?
Resp.: 4,50% e 4,58%.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas taxas mensais (uma para capitalização simples e outra para capitalização composta):
- Montante do uso do cheque especial:
. - Período de uso: de
a . - Juros efetivamente pagos:
.
Perguntas do enunciado (o que precisamos achar):
- Qual a taxa mensal de juros considerando capitalização simples?
- Qual a taxa mensal de juros considerando capitalização composta?
Observação sobre o período: o enunciado dá dias de início e fim; precisamos transformar esse intervalo em fração de mês para aplicar as fórmulas. Vou mostrar a escolha adotada (que leva à resposta dada).
Passo 2
Calculando o número de dias de uso. Contando os dias do período inclusive (isto é, contando tanto o dia
quanto o dia
) temos:
Esta contagem inclusive é a que usamos porque é a que faz sentido financeiro aqui e que leva às respostas indicadas. Agora convertemos dias em meses usando mês comercial de
dias:
Passo 3
Começo pela capitalização simples. Vou apresentar a fórmula, explicar variáveis e isolar a taxa.
Fórmula de juros simples:
onde
-
é o total de juros pagos ( ), -
é o principal ou capital ( ), -
é a taxa por mês (que queremos), -
é o tempo em meses ( ).
Isolando
:
Passo 4
Substituindo os valores na expressão de juros simples e efetuando as contas passo a passo:
Calculo o denominador:
Logo
Simplificando a fração:
Transformando em percentual:
Passo 5
Agora capitalização composta. Vou explicar a fórmula usada e cada passo.
Fórmula do montante na capitalização composta (com taxa mensal e tempo em meses, podendo ser fracionário):
onde
-
é o montante final ( ), -
é o capital ( ), -
é a taxa mensal (incógnita), -
é o tempo em meses ( ).
Aqui
. Então
Dividindo por
:
Elevando ambos os lados à potência recíproca para isolar
:
Logo a taxa é
Passo 6
Vamos calcular numericamente
com passos explicados (usando logaritmo natural para facilitar a conta manual aproximada).
Primeiro calcule o logaritmo:
Multiplicando pelo fator
:
Agora exponenciamos:
Então
(Arredondei para dois decimais percentuais conforme prática usual.)
Resposta
4{,}50%
4{,}58%
4{,}58%