Uma empresa utilizou \ 4.000,00 do seu limite do cheque especial, do dia15 / 06 / 2018 ao dia 21/06/2018, e pagou juros de$42,00$. Qual foi a taxa mensal de juros dessa operação, considerando as capitalizações simples e composta?
Resp.: 4,50% e 4,58%.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas taxas mensais (uma para capitalização simples e outra para capitalização composta):
  • Montante do uso do cheque especial: \$4.000,00.
  • Período de uso: de 15/06/2018 a 21/06/2018.
  • Juros efetivamente pagos: \$42,00.
Perguntas do enunciado (o que precisamos achar):
  1. Qual a taxa mensal de juros considerando capitalização simples?
  2. Qual a taxa mensal de juros considerando capitalização composta?
Observação sobre o período: o enunciado dá dias de início e fim; precisamos transformar esse intervalo em fração de mês para aplicar as fórmulas. Vou mostrar a escolha adotada (que leva à resposta dada).

Passo 2

Calculando o número de dias de uso. Contando os dias do período inclusive (isto é, contando tanto o dia 15 quanto o dia 21) temos:
\text{nº de dias} = 21 - 15 + 1 = 7 \text{ dias.}º
Esta contagem inclusive é a que usamos porque é a que faz sentido financeiro aqui e que leva às respostas indicadas. Agora convertemos dias em meses usando mês comercial de 30 dias:
t = \frac{7}{30}\\ \text{meses}.

Passo 3

Começo pela capitalização simples. Vou apresentar a fórmula, explicar variáveis e isolar a taxa.
Fórmula de juros simples:
J = P \cdot i \cdot t,
onde
  • J é o total de juros pagos ( \$42,00),
  • P é o principal ou capital ( \$4.000,00),
  • i é a taxa por mês (que queremos),
  • t é o tempo em meses ( \dfrac{7}{30}).
Isolando i:
i = \frac{J}{P \cdot t}.

Passo 4

Substituindo os valores na expressão de juros simples e efetuando as contas passo a passo:
i = \frac{42}{4000 \cdot \dfrac{7}{30}}.
Calculo o denominador:
4000 \cdot \frac{7}{30} = \frac{4000\cdot 7}{30} = \frac{28000}{30} = \frac{2800}{3}.
Logo
i = \frac{42}{\dfrac{2800}{3}} = 42 \cdot \frac{3}{2800} = \frac{126}{2800}.
Simplificando a fração:
\frac{126}{2800}=\frac{63}{1400}=\frac{9}{200}=0{,}045.
Transformando em percentual:
i = 0{,}045 = 4{,}50\%.

Passo 5

Agora capitalização composta. Vou explicar a fórmula usada e cada passo.
Fórmula do montante na capitalização composta (com taxa mensal e tempo em meses, podendo ser fracionário):
M = P\,(1+i)^{t},
onde
  • M é o montante final ( P+J),
  • P é o capital ( \$4.000,00),
  • i é a taxa mensal (incógnita),
  • t é o tempo em meses ( \dfrac{7}{30}).
Aqui M = P + J = 4000 + 42 = 4042. Então
4042 = 4000\,(1+i)^{\tfrac{7}{30}}.
Dividindo por 4000:
(1+i)^{\tfrac{7}{30}} = \frac{4042}{4000} = 1{,}0105.
Elevando ambos os lados à potência recíproca para isolar 1+i:
1+i = \left(1{,}0105\right)^{\tfrac{30}{7}}.
Logo a taxa é
i = \left(1{,}0105\right)^{\tfrac{30}{7}} - 1.

Passo 6

Vamos calcular numericamente i com passos explicados (usando logaritmo natural para facilitar a conta manual aproximada).
Primeiro calcule o logaritmo:
\ln(1{,}0105)\approx 0{,}010445261\quad(\text{expansão } \ln(1+x)\approx x-\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{3}\text{ foi usada}).ã
Multiplicando pelo fator \tfrac{30}{7}:
\frac{30}{7}\,\ln(1{,}0105)\approx 4{,}285714286\cdot 0{,}010445261 \approx 0{,}044801088.
Agora exponenciamos:
1+i = e^{0{,}044801088}\approx 1 + 0{,}044801088 + \tfrac{(0{,}044801088)^2}{2} + \cdots \approx 1{,}0458196.
Então
i \approx 0{,}0458196 \approx 0{,}0458 = 4{,}58\%.
(Arredondei para dois decimais percentuais conforme prática usual.)

Resposta

4{,}50%
4{,}58%

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