Uma empresa de vandas online monitora diariamente os pedidos de atendimentos ao cliente para melhorar a eficiências de seu serviço. A média de pedidos de atendimentos por dia é de 5 . A empresa também observou que cerca de 20% dos pedidos de atendimento são relacionados a devolução de produtos. Considerando o número de pedidos de atendimento ao cliente em em um dia, qual é a probabilidade de que em um dia ocorram ao menos 5 pedidos? Em um determinado dia, foram registrados 15 pedidos de atendimento, qual é a probabilidade de que pelo menos 3 desses pedidos sejam para devoluções de produtos?

Passo 1

Beleza, olha só o enunciado resumido e o que a gente vai usar:
– A empresa tem, em média, λ = 5 pedidos de atendimento por dia.
– Desses pedidos, 20 % são sobre devoluções.
Então a questão é:
  1. Qual a probabilidade de que num dia apareçam pelo menos 5 pedidos?
  2. Num dia em que apareceram exatamente 15 pedidos, qual a chance de que pelo menos 3 sejam devoluções?
Conteúdo da matéria:
  • Distribuição de Poisson (para contar o número de pedidos num dia, parte 1).
  • Distribuição Binomial (para contar quantos retornos num total de 15, parte 2).
O que vamos precisar:
  • Fórmula da Poisson:
  • E da Binomial:
    .

Passo 2

Parte 1: Distribuição de Poisson
A Poisson serve pra modelar “quantos eventos” ocorrem num intervalo, sabendo a média λ = 5.
A probabilidade de ter exatamente k pedidos é
P(X=k) = e^-5,5^kk!
Mas a gente quer “ao menos 5 pedidos”, ou seja
P(X >= 5) ;=; 1 - P(X <= 4) ;=; 1 - sumk=0^4 e^-5,5^kk!

Passo 3

Vamos montar essa conta:
P(X >= 5) = 1 - e^-5(5^00! + 5^11! + 5^22! + 5^33! + 5^44!)
Calculando (aproximadamente):
e⁻⁵ ≃ 0,0067379
→ soma dos termos de k=0 a 4 dá cerca de 0,44049
→ P(X ≥ 5) ≃ 1 – 0,44049 = 0,55951

Passo 4

Parte 2: Distribuição Binomial
Agora, dado que num dia houve 15 pedidos, cada um tem p = 0,2 chance de ser devolução, e queremos pelo menos 3 devoluções.
Y ∼ Binomial(n=15, p=0.2), então
P(Y >= 3) = 1 - l[P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2)r],
onde
P(Y=k) = binom15k (0.2)^k (0.8)^15-k
Então
P(Y >= 3) =1 - sumk=0^2 binom15k (0.2)^k (0.8)^15-k
Fazendo as contas (aprox.):
P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2) ≃ 0,39802
→ P(Y ≥ 3) ≃ 1 – 0,39802 = 0,60198

Resposta

Pelo menos 5 pedidos num dia (Poisson): ≃ 0,5595
Pelo menos 3 devoluções em 15 pedidos (Binomial): ≃ 0,6020

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