A empresa XYZ fabrica matéria prima para indústrias automobilísticas. Um parâmetro X é medido e apresenta distribuição Normal, de forma que, X : N(mu, sigma 2). Considerando que uma amostra de 25 elementos, foi retirada da população, com reposição, encontrou-se que a P(x>83)=0,164 % e, que a P(x< 82)=97,5 %. Determine o valor da média e do desvio padrão para a população.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a variável X (o parâmetro que medimos) é Normal, X∼N(μ,σ²). A gente tirou uma amostra de tamanho n=25 e, com base na distribuição da média amostral \bar X, encontrou
  • P(\bar X>83)=0,164%
  • P(\bar X<82)=97,5%
    O que precisamos:
    • Saber que \bar X∼N(μ,σ²/n)
    • Usar padronização (z-score) e tabelas/inverso da Normal para achar os z correspondentes a essas probabilidades
    • Montar e resolver o sistema para μ e σ

Passo 2

Definindo a média amostral \bar X:
\bar X ∼ N!\Bigl(μ,;\frac{σ^2}{n}\Bigr)\quadcomn=25.
Logo o desvio‐padrão da \bar X é σ_{\bar X}=σ/√n=σ/5.
Para qualquer x:
P(\bar X<x)=Φ\Bigl(\frac{x−μ}{σ/5}\Bigr),
onde Φ é a função de distribuição da Normal padrão.

Passo 3

Transformando P(\bar X>83)=0{,}164%=0{,}00164:
P(\bar X<83)=1−0{,}00164=0{,}99836.
Então a padronização dá
83−μσ/5=z1 com z1=Φ^-1(0,99836)approx2,94

Passo 4

Agora P(\bar X<82)=97{,}5%=0{,}975. Padronizando:
82−μσ/5=z2 com z2=Φ^-1(0,975)=1,96

Passo 5

Temos o sistema
(83−μ)=2{,}94,\frac{σ}{5},
(82−μ)=1{,}96,\frac{σ}{5}.
Subtraindo as duas equações:
(83−μ)−(82−μ) =l(2,94−1,96r)σ5 ;Longrightarrow; 1=0,98,σ5 ;Longrightarrow; σ=50,98approx5,10
Agora, por exemplo, usando (82−μ)=1{,}96,(σ/5):
82−μ=1,96cdot5,105approx1,96cdot1,02approx2 ;Longrightarrow; μ=82−2=80

Resposta

A média da população é aproximadamente μ=80 e o desvio‐padrão é σ≈5,10.

Exercícios relacionados