A empresa XYZ fabrica matéria prima para indústrias automobilísticas. Um parâmetro
é medido e apresenta distribuição Normal, de forma que,
:
. Considerando que uma amostra de 25 elementos, foi retirada da população, com reposição, encontrou-se que a
e, que a
. Determine o valor da média e do desvio padrão para a população.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a variável X (o parâmetro que medimos) é Normal, X∼N(μ,σ²). A gente tirou uma amostra de tamanho n=25 e, com base na distribuição da média amostral \bar X, encontrou
- P(\bar X>83)=0,164%
- P(\bar X<82)=97,5%
O que precisamos:
• Saber que \bar X∼N(μ,σ²/n)
• Usar padronização (z-score) e tabelas/inverso da Normal para achar os z correspondentes a essas probabilidades
• Montar e resolver o sistema para μ e σ
Passo 2
Definindo a média amostral \bar X:
\bar X ∼ N!\Bigl(μ,;\frac{σ^2}{n}\Bigr)\quadcomn=25.
Logo o desvio‐padrão da \bar X é σ_{\bar X}=σ/√n=σ/5.
\bar X ∼ N!\Bigl(μ,;\frac{σ^2}{n}\Bigr)\quadcomn=25.
Logo o desvio‐padrão da \bar X é σ_{\bar X}=σ/√n=σ/5.
Para qualquer x:
P(\bar X<x)=Φ\Bigl(\frac{x−μ}{σ/5}\Bigr),
onde Φ é a função de distribuição da Normal padrão.
P(\bar X<x)=Φ\Bigl(\frac{x−μ}{σ/5}\Bigr),
onde Φ é a função de distribuição da Normal padrão.
Passo 3
Transformando P(\bar X>83)=0{,}164%=0{,}00164:
P(\bar X<83)=1−0{,}00164=0{,}99836.
Então a padronização dá
P(\bar X<83)=1−0{,}00164=0{,}99836.
Então a padronização dá
Passo 4
Agora P(\bar X<82)=97{,}5%=0{,}975. Padronizando:
Passo 5
Temos o sistema
(83−μ)=2{,}94,\frac{σ}{5},
(82−μ)=1{,}96,\frac{σ}{5}.
(83−μ)=2{,}94,\frac{σ}{5},
(82−μ)=1{,}96,\frac{σ}{5}.
Subtraindo as duas equações:
Agora, por exemplo, usando (82−μ)=1{,}96,(σ/5):
Resposta
A média da população é aproximadamente μ=80 e o desvio‐padrão é σ≈5,10.