Um empresário está estudando os custos de produção de um determinado produto sob determinadas condições. Ele admite que essa variável é normalmente distribuída com desvio padrão de R \ 2,00$.
a. Determine um IC de 90 \% para o custo médio verdadeiro do produto utilizando os valores da seguinte amostra aleatória obtida: 4,87,18,14,55,66,87,25,7.
b. Suponha que no item a) o desvio padrão não fosse conhecido. Como ficaria seus cálculos para determinar um IC para \mu ?
Dica: \sum_{i=1}^{8} x_{i}=49,8 e \sum_{i=1}^{8} x_{i}^{2}=321,24

Passo 1

O enunciado diz que o custo do produto segue uma distribuição normal com desvio padrão conhecido \sigma = 2{,}00. Foi coletada uma amostra de tamanho n=8 cujos totais são
\sum_{i=1}^{8}x_i = 49{,}8, \quad \sum_{i=1}^{8}x_i^2 = 321{,}24.
No item (a) vamos construir um intervalo de confiança de 90\% para \mu usando \sigma conhecido. No item (b) repetimos o procedimento supondo agora \sigma desconhecido, usando a distribuição t.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar x:
\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{8}x_i = \frac{49{,}8}{8} = 6{,}225.

Passo 3

(a) Como \sigma é conhecido, o intervalo de confiança de 90\% para \mu é
\bar x \pm z_{\,\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde \alpha=0{,}10 e z_{0{,}05}=1{,}645. Assim,
\text{ME} = 1{,}645\;\frac{2}{\sqrt{8}} = 1{,}645\;\frac{2}{2{,}828} \approx 1{,}162.
Logo o intervalo é
\bigl[\,6{,}225 - 1{,}162,\;6{,}225 + 1{,}162\bigr] = [\,5{,}063,\;7{,}387\,].

Passo 4

(b) Agora supondo \sigma desconhecido, primeiro estimamos a variância amostral
s^2 = \frac{1}{n-1}\Bigl(\sum_{i=1}^{8}x_i^2 - \frac{(\sum_{i=1}^{8}x_i)^2}{n}\Bigr) = \frac{1}{7}\Bigl(321{,}24 - \frac{49{,}8^2}{8}\Bigr) = \frac{11{,}235}{7} \approx 1{,}605,
portanto
s \approx \sqrt{1{,}605} \approx 1{,}267.

Passo 5

Com s no lugar de \sigma, o intervalo de confiança de 90\% para \mu é
\bar x \pm t_{\,\alpha/2,\,\nu}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde \nu = n-1 = 7 e t_{0{,}05,7}\approx 1{,}895. A margem de erro fica
\text{ME}_t = 1{,}895\;\frac{1{,}267}{\sqrt{8}} = 1{,}895\;\frac{1{,}267}{2{,}828} \approx 0{,}848.
Logo o intervalo é
\bigl[\,6{,}225 - 0{,}848,\;6{,}225 + 0{,}848\bigr] = [\,5{,}377,\;7{,}073\,].

Resposta

(a) [5{,}063,\;7{,}387].
(b) [5{,}377,\;7{,}073].

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