Exercício 185. Um modelo de automóvel é vendido em quatro versões: SX, LX, GLX, GTX. Foi feita uma campanha publicitária para melhorar as vendas das versões GLX e GTX. Posteriormente, foi verificada a escolha das versões em 500 vendas escolhidas ao acaso. Os resultados foram:
Versão SX LX GLX GTX total
Unidades vendidas 210 125 105 60 500
De acordo com o fabricante, a participação de cada versão nas vendas deste modelo até a realização da campanha era 40 \% de SX, 30 \% de LX , 20% de GLX e 10% de GTX.
Utilize Teste Qui-quadrado, com o nível de significância de 2,5 \%, para verificar se houve ou não mudanças na participação de cada versão nas vendas após a campanha.
Ajuda: A tarefa, sendo colocada em termos matemáticos precisos, soa assim: Verifique, usando Teste Qui-quadrado, com o nível de significância de 2,5%, se os dados da tabela (a distribuição amostral) sugiram que a participação de cada versão nas vendas (quer dizer, a de todas as vendas, ou, em outras palavras, a distribuição populacional de vendas) após a campanha publicitária continua na mesma proporção que houve antes da campanha.

Passo 1

O enunciado dá as frequências observadas de vendas em quatro versões de um carro após a campanha publicitária:
SX: 210, LX: 125, GLX: 105, GTX: 60 (total n=500).
Antes da campanha, as proporções eram 40\% de SX, 30\% de LX, 20\% de GLX e 10\% de GTX.
Queremos testar, ao nível de significância de 2,5\%, se as proporções permanecem as mesmas.
Conteúdo: teste de aderência (goodness-of-fit) qui-quadrado com k=4 categorias e hipótese nula
H_0:\;(p_\text{SX},p_\text{LX},p_\text{GLX},p_\text{GTX})=(0{,}4,0{,}3,0{,}2,0{,}1).

Passo 2

Calcular as frequências esperadas sob H_0:
E_i = n\,p_i,
logo
E_\text{SX}=500\times0{,}4=200,\quad E_\text{LX}=500\times0{,}3=150,
E_\text{GLX}=500\times0{,}2=100,\quad E_\text{GTX}=500\times0{,}1=50.

Passo 3

Calcular a estatística
\chi^2 \;=\;\sum_{i=1}^4\frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} \;=\; \frac{(210-200)^2}{200} +\frac{(125-150)^2}{150} +\frac{(105-100)^2}{100} +\frac{(60-50)^2}{50}.
Isso dá
\chi^2=\frac{10^2}{200}+\frac{(-25)^2}{150}+\frac{5^2}{100}+\frac{10^2}{50} =0{,}50+4{,}17+0{,}25+2{,}00 =6{,}92.

Passo 4

O valor crítico para \alpha=2{,}5\% com df=k-1=3 é
\chi^2_{0{,}975,\,3}=9{,}348.
Rejeitamos H_0 se \chi^2_{\text{calc}}>\chi^2_{0{,}975,3}.

Passo 5

Aqui \chi^2_{\text{calc}}=6{,}92<9{,}348, logo não rejeitamos H_0. Não há evidência estatística, ao nível de 2{,}5\%, de mudança nas proporções de vendas após a campanha.

Resposta

Não houve mudança significativa na participação de cada versão nas vendas após a campanha publicitária.

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