Um empresário monitora o processo de fabricação de refrigerantes em uma indústria de bebidas. Para avaliar a linha de produção de refrigerantes de latas ( 355 ml ), ele obteve duas amostras aleatórias de latas de refrigerante que foram envasados por máquinas diferentes.
Máquina Latas de refrigerante (ml)
A 349,349,350,350,350,350,352,353,353,354,355,355,355,355,360
B 350, 354, 354, 355, 355, 355, 355, 356, 356, 357, 357, 358, 358, 359, 360
a) Encontre a média e a mediana de envase para cada máquina.
b) Numa amostra aleatória de 15 latas, espera-se que a quantidade média de refrigerante seja maior ou igual a 355 ml . Qual das máquinas apresentou média abaixo dessa especificação?
c) Numa amostra aleatória de 15 latas, espera-se que pelo menos 50% das latas tenha no mínimo 355 ml de refrigerante. Qual das máquinas não atende essa especificação? Qual medida estatística é adequada para justificar sua resposta?
d) Calcule o desvio padrão para cada tipo máquina e responda: qual tipo de máquina apresentou maior variabilidade no envasamento das latas de refrigerante?

Passo 1

O enunciado fornece duas amostras aleatórias de tamanho 15 cada, correspondendo ao volume (em ml) envasado por duas máquinas:
  • Máquina A: \;349,349,350,350,350,350,352,353,353,354,355,355,355,355,360.
  • Máquina B: \;350,354,354,355,355,355,355,356,356,357,357,358,358,359,360.
As perguntas são:
a) Encontrar a média e a mediana de envase para cada máquina.
b) Numa amostra aleatória de 15 latas espera-se que a média seja \ge 355 ml. Qual máquina apresentou média abaixo de 355 ml?
c) Espera-se que pelo menos 50\% das latas tenham no mínimo 355 ml. Qual máquina não atende essa especificação? Qual medida estatística é adequada para justificar?
d) Calcular o desvio padrão para cada máquina e dizer qual apresentou maior variabilidade no envasamento.

Passo 2

Calcular a média amostral e explicar o conceito.
  • Definição: a média amostral \bar{x} é a soma dos valores dividida pelo número de observações n. Em fórmulas:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui x_i são os volumes das latas e n=15.
Vamos somar os valores de cada máquina e dividir por 15.
Máquina A:
  • Soma dos volumes: \displaystyle \sum x_i = 5290 (somou-se todos os 15 valores da lista da Máquina A).
  • Média:
\bar{x}_A=\frac{5290}{15}=\;352{,}666\overline{6}\\ \text{ml}\approx 352{,}67\\ \text{ml}.
Máquina B:
  • Soma dos volumes: \displaystyle \sum x_i = 5339 (somou-se todos os 15 valores da lista da Máquina B).
  • Média:
\bar{x}_B=\frac{5339}{15}=355{,}933\overline{3}\\ \text{ml}\approx 355{,}93\\ \text{ml}.
(Comentário curto e motivador: a média resume o valor médio esperado de uma amostra de 15 latas.)

Passo 3

Calcular a mediana e explicar o conceito.
  • Definição: a mediana é o valor que deixa metade das observações abaixo e metade acima. Para um conjunto ordenado com número ímpar de observações n, a mediana é o \left(\dfrac{n+1}{2}\right)-ésimo valor ordenado. Aqui n=15 então a mediana é a 8-ª observação quando os dados estão em ordem crescente.
Máquina A (dados já ordenados):
\underbrace{349,\,349,\,350,\,350,\,350,\,350,\,352,}_{\text{1ª a 7ª}}\,\mathbf{353},\,353,\,354,\,355,\,355,\,355,\,355,\,360ªª
  • A 8ª observação é \;353. Então
\text{mediana}_A=353\\ \text{ml}.
Máquina B (dados já ordenados):
350,\,354,\,354,\,355,\,355,\,355,\,355,\,\mathbf{356},\,356,\,357,\,357,\,358,\,358,\,359,\,360
  • A 8ª observação é \;356. Então
\text{mediana}_B=356\\ \text{ml}.
(Interpretação curta: a mediana mostra o valor abaixo do qual está \,50\% das latas ordenadas.)

Passo 4

Resposta à pergunta (b): comparar as médias com a especificação \,355 ml.
  • Máquina A: \bar{x}_A=352{,}666\overline{6}<355.
  • Máquina B: \bar{x}_B=355{,}933\overline{3}\ge 355.
Portanto, a máquina que apresentou média abaixo da especificação é a Máquina A.

Passo 5

Resposta à pergunta (c): condição “pelo menos 50\% das latas tenha no mínimo 355 ml”.
  • Medida estatística adequada: a mediana é apropriada para verificar um critério de “pelo menos 50\%” porque, por definição, se a mediana \ge 355 então pelo menos 50\% das observações são \ge 355. Também é possível usar a proporção empírica de observações \ge 355, que dá informação direta em porcentagem.
Contagem direta (proporção empírica):
  • Máquina A: observações \ge 355 são quatro valores iguais a 355 e um valor 360, total 5 de 15. Proporção =5/15=1/3\approx 33{,}33\%.
  • Máquina B: observações \ge 355 são 12 de 15. Proporção =12/15=80\%.
Conclusão: Máquina A não atende a especificação (apenas ~ 33{,}33\% \ge 355); Máquina B atende. A medida estatística adequada para justificar é a mediana (ou alternativamente a proporção empírica).

Passo 6

Calcular o desvio padrão amostral e explicar o conceito.
  • Definição (desvio padrão amostral): para uma amostra de tamanho n com média amostral \bar{x}, o desvio padrão amostral s é
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 }.
Explicação: s mede, em média, o quanto os valores se afastam da média; usa-se n-1 no denominador para obter uma estimativa não viesada da variância populacional (quando a amostra é usada para inferir sobre a população).
Para facilitar os cálculos à mão, usa-se a identidade
\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2=\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2,
logo
s^2=\frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1}.
Agora as contas (mostrando os passos principais):
Máquina A:
  • Já temos n=15, \sum x_i=5290 e \bar{x}_A=5290/15.
  • Soma dos quadrados (calculada somando cada x_i^2): \displaystyle \sum x_i^2 = 1\,865\,740.
  • Calcular n\bar{x}_A^2=\dfrac{5290^2}{15}=\dfrac{27\,984\,100}{15}=1\,865\,606{,}6\overline{6}.
  • Numerador da variância:
\sum x_i^2 - n\bar{x}_A^2 = 1\,865\,740 - 1\,865\,606{,}6\overline{6} = 133{,}3\overline{3} = \frac{400}{3}.
  • Variância amostral:
s_A^2=\frac{133{,}3\overline{3}}{14}=\frac{400/3}{14}=\frac{200}{21}\approx 9{,}5238095.
  • Desvio padrão amostral:
s_A=\sqrt{\frac{200}{21}}\approx 3{,}09\\ \text{ml}.
Máquina B:
  • n=15, \sum x_i=5339, \bar{x}_B=5339/15.
  • Soma dos quadrados: \displaystyle \sum x_i^2 = 1\,900\,411.
  • Calcular n\bar{x}_B^2=\dfrac{5339^2}{15}=\dfrac{28\,504\,921}{15}=1\,900\,328{,}0\overline{6}.
  • Numerador da variância:
\sum x_i^2 - n\bar{x}_B^2 = 1\,900\,411 - 1\,900\,328{,}0\overline{6} = 82{,}933\overline{3} = \frac{1244}{15}.
  • Variância amostral:
s_B^2=\frac{1244/15}{14}=\frac{1244}{210}=\frac{622}{105}\approx 5{,}9238095.
  • Desvio padrão amostral:
s_B=\sqrt{\frac{622}{105}}\approx 2{,}43\\ \text{ml}.
Comparação e conclusão:
  • s_A\approx 3{,}09\\ \text{ml} e s_B\approx 2{,}43\\ \text{ml}.
  • Logo, a Máquina A apresentou maior variabilidade no envasamento (desvio padrão maior).

Resposta

(a) Máquina A: média \bar{x}_A=\dfrac{5290}{15}=352{,}666\overline{6}\\ \text{ml}\approx352{,}67\\ \text{ml}; mediana =353\\ \text{ml}.
Máquina B: média \bar{x}_B=\dfrac{5339}{15}=355{,}933\overline{3}\\ \text{ml}\approx355{,}93\\ \text{ml}; mediana =356\\ \text{ml}.
(b) Máquina A apresentou média abaixo de 355 ml.
(c) Máquina A não atende a especificação de que pelo menos 50\% das latas tenham \ge 355 ml. Medida adequada para justificar: a mediana (ou alternativamente a proporção empírica); mediana _A=353<355 e apenas 5/15\approx33{,}33\% das latas de A têm \ge355 ml.
(d) Desvio padrão amostral: Máquina A s_A=\sqrt{\dfrac{200}{21}}\approx 3{,}09\\ \text{ml}. Máquina B s_B=\sqrt{\dfrac{622}{105}}\approx 2{,}43\\ \text{ml}. A Máquina A apresentou maior variabilidade.

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