1. Se você selecionar ao acaso uma amostra aleatória de 20 pessoas (amostra A) e então selecionasse outra amostra aleatória de 300 pessoas (amostra B) e calculasse o peso médio para cada uma das amostras. Qual resultado é mais provável de fornecer uma melhor estimativa do peso médio da população:
    a () Amostra A
    b ( ) Amostra B
    c ( ) Ambas fornecerão boas estimativas da média populacional.
    d ( ) Nenhuma delas fornecerá uma boa estimativa da média populacional.

Passo 1

O enunciado dá duas amostras aleatórias independentes de tamanhos diferentes e pede que se escolha qual resultado é mais provável de fornecer uma melhor estimativa do peso médio da população. Informações relevantes fornecidas:
  • Tamanho da amostra A: n_A=20.
  • Tamanho da amostra B: n_B=300.
  • Para cada amostra é calculada a média amostral do peso (uma única estatística por amostra).
    O que se pergunta:
  • Qual alternativa é a correta entre:
    a) Amostra A;
    b) Amostra B;
    c) Ambas fornecerão boas estimativas da média populacional;
    d) Nenhuma delas fornecerá uma boa estimativa da média populacional.

Passo 2

O que significa “melhor estimativa” da média populacional?
Explicação didática: quando falamos que uma estimativa é “melhor” geralmente queremos que ela tenha menor erro típico em relação à média verdadeira da população. Duas propriedades importantes da média amostral \bar{X} são:
  • \bar{X} é um estimador não viciado (unbiased) da média populacional \mu: isto é, E[\bar{X}]=\mu.
  • A qualidade da estimativa é medida pela variabilidade de \bar{X}, dada por sua variância ou desvio padrão (erro padrão). Menor variabilidade significa que as repetições da amostra tendem a dar médias mais próximas de \mu.

Passo 3

Fórmula que vamos usar (e o que as letras significam):
  • Seja \sigma o desvio-padrão da população (desconhecido, mas fixo).
  • Para uma amostra aleatória simples de tamanho n, a variância da média amostral é
\operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}.
  • O desvio-padrão da média amostral (erro padrão) é
\operatorname{SE}(\bar{X})=\sqrt{\operatorname{Var}(\bar{X})}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Interpretação: quanto maior n, menor é \operatorname{SE}(\bar{X}) e, portanto, melhor (em média) será a precisão da estimativa da média populacional.

Passo 4

Aplicando a fórmula aos dois tamanhos de amostra (mostrando passo a passo):
  • Para a amostra A ( n_A=20):
\operatorname{SE}_A=\frac{\sigma}{\sqrt{20}}.
  • Para a amostra B ( n_B=300):
\operatorname{SE}_B=\frac{\sigma}{\sqrt{300}}.
Comparação relativa (quão menor é o erro padrão de B em relação a A):
\frac{\operatorname{SE}_B}{\operatorname{SE}_A} = \frac{\sigma/\sqrt{300}}{\sigma/\sqrt{20}} = \sqrt{\frac{20}{300}} = \sqrt{\frac{1}{15}} \approx 0,258.
Ou seja, o erro padrão da amostra B é cerca de 25{,}8\% do erro padrão da amostra A — muito menor.

Passo 5

Um exemplo numérico concreto (para intuir melhor): suponha que a variação típica de peso na população seja \sigma=10 kg (apenas para exemplificar).
  • Então
\operatorname{SE}_A=\frac{10}{\sqrt{20}}\approx\frac{10}{4{,}472}\approx2{,}24\\ \text{kg},
\operatorname{SE}_B=\frac{10}{\sqrt{300}}\approx\frac{10}{17{,}321}\approx0{,}577\\ \text{kg}.
Interpretação: com a amostra B a média amostral tende, tipicamente, a ficar muito mais perto da média populacional (erro típico ~0,58 kg) do que com a amostra A (erro típico ~2,24 kg).

Passo 6

Comentário sobre vieses e o Teorema do Limite Central (TLG):
  • Ambos os estimadores \bar{X}_A e \bar{X}_B são não viciados: em média acertam \mu. Portanto a diferença não é viés, é precisão (variância).
  • Pelo Teorema do Limite Central, para amostras suficientemente grandes a distribuição de \bar{X} fica aproximadamente normal, centrada em \mu, com desvio-padrão \sigma/\sqrt{n}. Amostra B ( n=300) é grande o suficiente para que a aproximação seja muito boa; amostra A ( n=20) é pequena, a aproximação pode ser razoável dependendo da distribuição da população, mas a variabilidade será maior de qualquer forma.

Passo 7

Conclusão interpretativa e encorajamento:
  • Ambos os tamanhos de amostra produzem estimativas que, em média, são corretas (sem viés). Porém a amostra B, por ter n_B=300, tem erro padrão muito menor e, portanto, é muito mais provável fornecer uma estimativa mais precisa (mais próxima de \mu) do que a amostra A.
  • Em linguagem simples: amostras maiores dão estimativas mais estáveis — por isso, entre 20 e 300, escolha 300 sem hesitar. Força nos estudos — você já está no caminho certo ao perguntar isso!

Resposta

b (Amostra B)

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