- Se você selecionar ao acaso uma amostra aleatória de 20 pessoas (amostra A) e então selecionasse outra amostra aleatória de 300 pessoas (amostra B) e calculasse o peso médio para cada uma das amostras. Qual resultado é mais provável de fornecer uma melhor estimativa do peso médio da população:
a () Amostra A
b ( ) Amostra B
c ( ) Ambas fornecerão boas estimativas da média populacional.
d ( ) Nenhuma delas fornecerá uma boa estimativa da média populacional.
a () Amostra A
b ( ) Amostra B
c ( ) Ambas fornecerão boas estimativas da média populacional.
d ( ) Nenhuma delas fornecerá uma boa estimativa da média populacional.
Passo 1
O enunciado dá duas amostras aleatórias independentes de tamanhos diferentes e pede que se escolha qual resultado é mais provável de fornecer uma melhor estimativa do peso médio da população. Informações relevantes fornecidas:
- Tamanho da amostra A:
. - Tamanho da amostra B:
. - Para cada amostra é calculada a média amostral do peso (uma única estatística por amostra).
O que se pergunta: - Qual alternativa é a correta entre:
a) Amostra A;
b) Amostra B;
c) Ambas fornecerão boas estimativas da média populacional;
d) Nenhuma delas fornecerá uma boa estimativa da média populacional.
Passo 2
O que significa “melhor estimativa” da média populacional?
Explicação didática: quando falamos que uma estimativa é “melhor” geralmente queremos que ela tenha menor erro típico em relação à média verdadeira da população. Duas propriedades importantes da média amostral são:
Explicação didática: quando falamos que uma estimativa é “melhor” geralmente queremos que ela tenha menor erro típico em relação à média verdadeira da população. Duas propriedades importantes da média amostral
-
é um estimador não viciado (unbiased) da média populacional : isto é, . - A qualidade da estimativa é medida pela variabilidade de
, dada por sua variância ou desvio padrão (erro padrão). Menor variabilidade significa que as repetições da amostra tendem a dar médias mais próximas de .
Passo 3
Fórmula que vamos usar (e o que as letras significam):
- Seja
o desvio-padrão da população (desconhecido, mas fixo). - Para uma amostra aleatória simples de tamanho
, a variância da média amostral é
- O desvio-padrão da média amostral (erro padrão) é
Interpretação: quanto maior
, menor é
e, portanto, melhor (em média) será a precisão da estimativa da média populacional.
Passo 4
Aplicando a fórmula aos dois tamanhos de amostra (mostrando passo a passo):
- Para a amostra A (
):
- Para a amostra B (
):
Comparação relativa (quão menor é o erro padrão de B em relação a A):
Ou seja, o erro padrão da amostra B é cerca de
do erro padrão da amostra A — muito menor.
Passo 5
Um exemplo numérico concreto (para intuir melhor): suponha que a variação típica de peso na população seja
kg (apenas para exemplificar).
- Então
Interpretação: com a amostra B a média amostral tende, tipicamente, a ficar muito mais perto da média populacional (erro típico ~0,58 kg) do que com a amostra A (erro típico ~2,24 kg).
Passo 6
Comentário sobre vieses e o Teorema do Limite Central (TLG):
- Ambos os estimadores
e são não viciados: em média acertam . Portanto a diferença não é viés, é precisão (variância). - Pelo Teorema do Limite Central, para amostras suficientemente grandes a distribuição de
fica aproximadamente normal, centrada em , com desvio-padrão . Amostra B ( ) é grande o suficiente para que a aproximação seja muito boa; amostra A ( ) é pequena, a aproximação pode ser razoável dependendo da distribuição da população, mas a variabilidade será maior de qualquer forma.
Passo 7
Conclusão interpretativa e encorajamento:
- Ambos os tamanhos de amostra produzem estimativas que, em média, são corretas (sem viés). Porém a amostra B, por ter
, tem erro padrão muito menor e, portanto, é muito mais provável fornecer uma estimativa mais precisa (mais próxima de ) do que a amostra A. - Em linguagem simples: amostras maiores dão estimativas mais estáveis — por isso, entre 20 e 300, escolha 300 sem hesitar. Força nos estudos — você já está no caminho certo ao perguntar isso!
Resposta
b (Amostra B)