Dê um exemplo de um conjunto de dados com 6 números naturais (podendo repetir), para o qual a mediana é 7 e a média 8. Explique o raciocínio que você utilizou para criar este conjunto de dados.
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Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado:
- O enunciado pede um conjunto de
números naturais (podem se repetir) tal que a mediana vale e a média vale . - Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O conjunto tem exatamente
elementos. - A mediana é
. - A média aritmética é
.
- O conjunto tem exatamente
Passo 2
Definições úteis (explicadas com calma):
- Média aritmética: para
números , a média é dada por
Aqui cada
é um número do conjunto; a média é a soma de todos dividida por
.
- Mediana em um conjunto com número par de observações: primeiro ordena-se os números em ordem não decrescente (do menor para o maior). Para
par, a mediana é a média dos dois valores centrais. No nosso caso, com , os valores centrais são o e o elementos (quando ordenados). Ou seja, se os elementos ordenados são
então
Passo 3
Traduzindo as condições em equações:
- Como a média deve ser
e há números, a soma total deve ser
- Como a mediana deve ser
, vale
Portanto precisamos escolher seis números naturais que satisfaçam simultaneamente
Passo 4
Estratégia para construir um conjunto:
- Primeiro escolho dois números naturais
e com soma . Há várias possibilidades (por exemplo e , ou e , ou e , etc.). Eu prefiro escolher valores que facilitem manter a ordem não decrescente e distribuir o restante da soma de forma simples. - Vou escolher
pois
. Isso dá uma mediana
(a média de
e
é
) e deixa
de soma restante para distribuir entre
.
Passo 5
Distribuir os
restantes respeitando a ordem:
- Precisamos de
(pois ) e (pois ). - Uma escolha simples e natural é:
- Verificação da soma dos quatro escolhidos:
que é exatamente o que precisava complementar
para chegar a
.
- Verificação da ordem:
logo a ordenação não é violada.
Passo 6
Verificação final das duas condições:
- Mediana: como os valores centrais são
e ,
- Média: soma total
logo a média é
Ambas as condições são satisfeitas.
Passo 7
Comentário motivador e alternativa rápida:
- Dá para montar muitos conjuntos diferentes. Por exemplo, poderia ter escolhido
e (ambos ), aí restariam para os outros quatro números com as restrições de ordem; também é possível ajustar esses quatro de maneiras diferentes. O importante é sempre garantir as duas equações chave: e soma total .