Dê um exemplo de um conjunto de dados com 6 números naturais (podendo repetir), para o qual a mediana é 7 e a média 8. Explique o raciocínio que você utilizou para criar este conjunto de dados.





Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado:
  • O enunciado pede um conjunto de 6 números naturais (podem se repetir) tal que a mediana vale 7 e a média vale 8.
  • Informações relevantes extraídas do enunciado:
    • O conjunto tem exatamente 6 elementos.
    • A mediana é 7.
    • A média aritmética é 8.

Passo 2

Definições úteis (explicadas com calma):
  • Média aritmética: para n números x_1,x_2,\dots,x_n, a média é dada por
\text{média}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}.é
Aqui cada x_i é um número do conjunto; a média é a soma de todos dividida por n.
  • Mediana em um conjunto com número par de observações: primeiro ordena-se os números em ordem não decrescente (do menor para o maior). Para n par, a mediana é a média dos dois valores centrais. No nosso caso, com n=6, os valores centrais são o 3^\circ e o 4^\circ elementos (quando ordenados). Ou seja, se os elementos ordenados são
a_1 \le a_2 \le a_3 \le a_4 \le a_5 \le a_6,
então
\text{mediana}=\frac{a_3+a_4}{2}.

Passo 3

Traduzindo as condições em equações:
  • Como a média deve ser 8 e há 6 números, a soma total deve ser
a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6 = 6\cdot 8 = 48.
  • Como a mediana deve ser 7, vale
\frac{a_3+a_4}{2}=7 \quad\Rightarrow\quad a_3+a_4=14.
Portanto precisamos escolher seis números naturais que satisfaçam simultaneamente
a_1\le a_2\le a_3\le a_4\le a_5\le a_6,
a_3+a_4=14, \qquad a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=48.

Passo 4

Estratégia para construir um conjunto:
  • Primeiro escolho dois números naturais a_3 e a_4 com soma 14. Há várias possibilidades (por exemplo 7 e 7, ou 6 e 8, ou 5 e 9, etc.). Eu prefiro escolher valores que facilitem manter a ordem não decrescente e distribuir o restante da soma de forma simples.
  • Vou escolher
a_3=6,\qquad a_4=8,
pois 6+8=14. Isso dá uma mediana 7 (a média de 6 e 8 é 7) e deixa 48-(6+8)=34 de soma restante para distribuir entre a_1,a_2,a_5,a_6.

Passo 5

Distribuir os 34 restantes respeitando a ordem:
  • Precisamos de a_1\le a_2\le 6 (pois a_3=6) e 8\le a_5\le a_6 (pois a_4=8).
  • Uma escolha simples e natural é:
a_1=5,\qquad a_2=6,\qquad a_5=9,\qquad a_6=14.
  • Verificação da soma dos quatro escolhidos:
5+6+9+14 = 34,
que é exatamente o que precisava complementar 6+8 para chegar a 48.
  • Verificação da ordem:
5 \le 6 \le 6 \le 8 \le 9 \le 14,
logo a ordenação não é violada.

Passo 6

Verificação final das duas condições:
  • Mediana: como os valores centrais são a_3=6 e a_4=8,
\text{mediana}=\frac{6+8}{2}=7.
  • Média: soma total
5+6+6+8+9+14 = 48,
logo a média é
\frac{48}{6}=8.
Ambas as condições são satisfeitas.

Passo 7

Comentário motivador e alternativa rápida:
  • Dá para montar muitos conjuntos diferentes. Por exemplo, poderia ter escolhido a_3=7 e a_4=7 (ambos 7), aí restariam 48-14=34 para os outros quatro números com as restrições de ordem; também é possível ajustar esses quatro de maneiras diferentes. O importante é sempre garantir as duas equações chave: a_3+a_4=14 e soma total 48.

Resposta

5, 6, 6, 8, 9, 14

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