Um empresário pretende estabelecer uma firma para montagem de um produto composto de uma esfera e um cilindro. As partes são adquiridas em fábricas diferentes (A e B), e a montagem consistirá em juntar as duas partes e pintá-las. O produto acabado deve ter o comprimento (definido pelo cilindro) e a espessura (definida pela esfera) dentro de certos limites, e isso só poderá ser verificado após a montagem. Para estudar a viabilidade de seu empreendimento, o empresário quer ter uma ideia sa distribuição do lucro por peça montada.
Sabe-se que cada componente pode ser classificado como bom, longo ou curto, conforme sua medida esteja dentro da especificação, maior ou menor que a especificada, respectivamente. Além disso, foram obtidos dos fabricantes o preço de cada componente
e as probabilidades de produção de cada componente com as características bom, longo e curto. Esses valores estão na Tabela abaixo:
Sabe-se que cada componente pode ser classificado como bom, longo ou curto, conforme sua medida esteja dentro da especificação, maior ou menor que a especificada, respectivamente. Além disso, foram obtidos dos fabricantes o preço de cada componente
Produto | Fábrica A: Cilindro | Fábrica B: Esfera |
---|---|---|
Dentro das especificações … bom (B) | 0,80 | 0,70 |
Maior que as especificações … longo (L) | 0,10 | 0,20 |
Menor que as especificações … curto © | 0,10 | 0,10 |
Se o produto final apresentar algum componente com a característica C (curto), ele será irrecuperável, e o conjunto será vendido como sucata ao preço de
. Cada componente longo poderá ser recuperado a um custo adicional de
. Se o preço de venda de cada unidade for de
, como seria a distribuição de probabilidades da variável aleatória
: lucro por conjunto montado?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. Temos um “produto” formado por um cilindro (da fábrica A) e uma esfera (da fábrica B). Cada peça custa R$ 5,00, e vendemos o conjunto montado por R$ 25,00.
As peças podem sair boas (B), longas (L) ou curtas © com certas probabilidades:
As peças podem sair boas (B), longas (L) ou curtas © com certas probabilidades:
- Cilindro (A): P(B)=0,80, P(L)=0,10, P©=0,10
- Esfera (B): P(B)=0,70, P(L)=0,20, P©=0,10
Regras de custo e receita:
- Se qualquer uma for curta ©, produto vira sucata e é vendido por R$ 5,00.
- Cada peça longa (L) precisa de recuperação adicional: +R$ 5,00 por peça.
- Preço de venda do conjunto (se não for sucata) = R$ 25,00.
O que vamos usar de teoria:
- Probabilidade de eventos independentes (multiplicação).
- Distribuição de uma variável aleatória discreta: listar todos os valores que o lucro X pode assumir e suas probabilidades.
Passo 2
Vamos definir os casos possíveis para o lucro X:
- Sucata (qualquer C): as duas peças custaram R$ 10,00 (2×5) e vendemos a sucata a R$ 5,00.
Lucro = 5 − 10 = –5. - Produto montado sem sucata: só ocorre se nenhuma peça for C. Dentro disso, temos subcasos:
a) Nenhuma L (B+B) → custo =10, sem recuperação → lucro = 25 − 10 = 15.
b) Uma L (L+B ou B+L) → custo =10 +5 de recuperação → lucro = 25 − 15 = 10.
c) Duas L (L+L) → custo =10 +2×5 =20 → lucro = 25 − 20 = 5.
Passo 3
Calcular probabilidades de cada caso usando independência (P(A∧B)=P(A)P(B)):
-
P(sucata) = P(cil C ou esp C)
= 1 − P(nenhuma C) = 1 − [P(cil≠C)·P(esp≠C)]
= 1 − (0,90·0,90) = 1 − 0,81 = 0,19. -
P(B+B) = P(cil B)·P(esp B) = 0,80·0,70 = 0,56.
-
P(L+B) = P(cil L)·P(esp B) = 0,10·0,70 = 0,07.
P(B+L) = 0,80·0,20 = 0,16. -
P(L+L) = 0,10·0,20 = 0,02.
Confere que 0,56+0,07+0,16+0,02 =0,81 = P(nenhuma C).
Passo 4
Agora ligamos cada prob ao lucro:
- X = –5 com P=0,19
- X = 15 com P=0,56
- X = 10 com P=0,07+0,16 = 0,23
- X = 5 com P=0,02
Resposta
A distribuição da variável aleatória
(lucro por conjunto) é: