Um vendedor de equipamento pesado pode visitar, num dia, um ou dois clientes, com probabilidade de 13 ou 23, respectivamente. De cada contato, pode resultar a venda de um equipamento por R (com probabilidade (com probabilidade ) ou nenhuma venda (com probabilidade ) ou nenhuma venda (com probabilidade ). Indicando por ) Indicando por o valor total de vendas diárias desse vendedor, encontre a distribuição de probabilidades de o valor total de vendas diárias desse vendedor, encontre a distribuição de probabilidades de e calcule o valor total esperado de vendas diárias. Encontre também, a variância da variável e calcu<= o valor total esperado de vendas diárias Encontre também, a variância da variável .

Passo 1

Beleza, a questão diz que um vendedor visita num dia ou 1 cliente (prob. 1/3) ou 2 clientes (prob. 2/3). Cada contato tem 10% de chance de rolar uma venda de R$50 000 e 90% de não vender nada. A variável aleatória é o total de vendas do dia.
Conteúdo: misturar probabilidades condicionais, distribuição total, expectativa e variância usando Lei da Probabilidade Total e fórmulas de variância condicional. Vamos usar também Binomial(condicional a ) e depois calcular e .

Passo 2

Distribuição de 0, 50,000, 100,000 . Como cada venda vale R$50 000, P(Y=0) = 13cdot0,9 ;+;23cdot0,9^2 = 0,3 ;+; 23cdot0,81 = 0,3 + 0,54 = 0,84 só pode ser
P(Y=50,000) = 13cdot0,1 + 23cdot2cdot0,1cdot0,9 = 0,0333ldots + 0,12 = 0,1533ldots approx 0,1533
Vamos achar P(Y=100,000) = 23cdot0,1^2 = 23cdot0,01 = 0,006666ldots approx 0,0067 por casos de :
  1. :
    • Se : não vende em 1 contato: .
    • Se : não vende em 2 contatos: .
      Soma:
  2. : rolou exatamente 1 venda.
    • Se : vende no único contato: .
    • Se : vende em exatamente 1 dos 2 contatos: .
      Soma:
  3. : rolou 2 vendas, só possível se :
Confere que .

Passo 3

Esperança E[Y] = El[E[Ymid N]r] . Usamos a lei da esperança condicionada:
50 000, então [ E[Ymid N] = Ncdot0,1cdot50,000 = 5,000,N ] Logo [ E[Y] = E[5,000,N] = 5,000,E[N] ] E como [ E[N] = 1cdottfrac13 + 2cdottfrac23 = tfrac1+43 = tfrac53, ] vem [ E[Y] = 5,000cdottfrac53 = 25,0003 approx 8,333,33 (R
Dado visitas, as vendas são vezes R$50 000, então
Logo
E como
vem

Passo 4

Variância Var(Y) = underbraceVarl(E[Ymid N]r)(1) + underbraceEl[Var(Ymid N)r](2) .
Usamos a fórmula da variância condicionada:
Varl(E[Ymid N]r) = Var(5,000,N) = 5,000^2;Var(N)
(1) Var(N) = E[N^2] - (E[N])^2 = l(1^2!tfrac13 + 2^2!tfrac23r) - l(tfrac53r)^2 = l(tfrac1+83r) - tfrac259 = 3 - tfrac259 = tfrac29 , então
(1) = 25,000,000 cdot tfrac29 = 50,000,0009 approx 5,555,556
E
Var(Ymid N) = Ncdot0,1cdot0,9cdot(50,000)^2 = 0,09,Ncdot2,5times10^9 = 2,25times10^8,N
Logo
El[Var(Ymid N)r] = 2,25times10^8;E[N] = 2,25times10^8 cdot tfrac53 = 3,75times10^8
(2) Var(Y) approx 5,555,556 + 375,000,000 = 380,555,556(R$²) é da Binomial:
Então
Somando (1)+(2):
²

Resposta

Distribuição de P(Y=0)=0,84, P(Y=50,000)=0,1533, P(Y=100,000)=0,0067 :
E[Y] = 25,0003 approx 8,333,33 R$
Esperança:
Var(Y)approx 380,555,556 (R$²)
Variância:
²

Exercícios relacionados