Um vendedor de equipamento pesado pode visitar, num dia, um ou dois clientes, com probabilidade de ou , respectivamente. De cada contato, pode resultar a venda de um equipamento por (com probabilidade ) ou nenhuma venda (com probabilidade ). Indicando por o valor total de vendas diárias desse vendedor, encontre a distribuição de probabilidades de e calcule o valor total esperado de vendas diárias. Encontre também, a variância da variável .
Passo 1
Beleza, a questão diz que um vendedor visita num dia ou 1 cliente (prob. 1/3) ou 2 clientes (prob. 2/3). Cada contato tem 10% de chance de rolar uma venda de R$50 000 e 90% de não vender nada. A variável aleatória é o total de vendas do dia.
Conteúdo: misturar probabilidades condicionais, distribuição total, expectativa e variância usando Lei da Probabilidade Total e fórmulas de variância condicional. Vamos usar também Binomial(condicional a ) e depois calcular e .
Passo 2
Distribuição de . Como cada venda vale R$50 000, só pode ser
Vamos achar por casos de :
:
Se : não vende em 1 contato: .
Se : não vende em 2 contatos: .
Soma:
: rolou exatamente 1 venda.
Se : vende no único contato: .
Se : vende em exatamente 1 dos 2 contatos: .
Soma:
: rolou 2 vendas, só possível se :
Confere que .
Passo 3
Esperança . Usamos a lei da esperança condicionada:
Dado visitas, as vendas são vezes R$50 000, então
Logo
E como
vem
Passo 4
Variância .
Usamos a fórmula da variância condicionada: