Um empréstimo de \ 42.000,00 foi tomado por determinado prazo a uma taxa linear de7 % ao mês. Em determinado momento o devedor resgata este empréstimo e contrai outro no valor deêé$200.000,00 pagando5 % de juros simples ao mês por certo prazo. Após dois anos de ter contraído o primeiro empréstimo, o devedor liquida sua dívida remanescente. O total dos juros pagos nos dois empréstimos tomados atingeêóíéíé$ 180.000,00$. Pede-se calcular os prazos referentes a cada um dos empréstimos.

Passo 1

Vou resumir claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder:
  • Valor do primeiro empréstimo: \$42.000,00.
  • Taxa do primeiro empréstimo: 7\% ao mês.
  • Em certo momento o devedor “resgata” (ou seja, encerra) o primeiro empréstimo e então contrai um segundo empréstimo.
  • Valor do segundo empréstimo: \$200.000,00.
  • Taxa do segundo empréstimo: 5\% ao mês.
  • Após 2 anos desde que o primeiro empréstimo foi contraído, ou seja, após 24 meses, o devedor quita a dívida remanescente (liquida o que ainda devia do segundo empréstimo).
  • Total dos juros pagos nos dois empréstimos juntos: \$180.000,00.
O que precisamos encontrar: os prazos (em meses) de cada empréstimo — ou seja, quanto tempo o primeiro ficou vigente (antes de ser resgatado) e quanto tempo o segundo ficou vigente até a liquidação aos 24 meses.

Passo 2

Vamos definir variáveis para organizar a solução:
  • Seja t o número de meses em que permaneceu o primeiro empréstimo (tempo entre contratação do primeiro e o momento em que ele foi resgatado).
  • Como a liquidação final ocorre aos 24 meses desde o início, o segundo empréstimo ficou ativo por 24-t meses.
Agora, a ideia será escrever a expressão dos juros pagos em cada empréstimo e somá-los, igualando a \$180.000,00.

Passo 3

Relembrando a fórmula de juros simples (já que as taxas são “lineares” = juros simples):
A fórmula do juro simples é
I = P \cdot r \cdot n
onde:
  • I é o juro total pago;
  • P é o principal (valor emprestado);
  • r é a taxa por período (no nosso caso, por mês), escrita em forma decimal;
  • n é o número de períodos (número de meses aqui).
Vou aplicar essa fórmula separadamente para cada empréstimo.

Passo 4

Juros pagos no primeiro empréstimo:
  • Principal \;P_1=\$42.000,00.
  • Taxa mensal \;r_1=7\%=0{,}07.
  • Tempo \;n_1=t meses.
    Pelo juro simples,
I_1 = P_1 \cdot r_1 \cdot t = 42.000 \cdot 0{,}07 \cdot t.
Calculemos 42.000\cdot 0{,}07:
42.000 \times 0{,}07 = 2.940.
Logo
I_1 = 2.940\,t.

Passo 5

Juros pagos no segundo empréstimo:
  • Principal \;P_2=\$200.000,00.
  • Taxa mensal \;r_2=5\%=0{,}05.
  • Tempo \;n_2=24-t meses.
    Pelo juro simples,
I_2 = P_2 \cdot r_2 \cdot (24-t) = 200.000 \cdot 0{,}05 \cdot (24-t).
Calculemos 200.000\cdot 0{,}05:
200.000 \times 0{,}05 = 10.000.
Logo
I_2 = 10.000\,(24 - t).

Passo 6

A condição do enunciado é que o total dos juros pagos nos dois empréstimos vale \$180.000,00. Assim:
I_1 + I_2 = 180.000.
Substituindo as expressões:
2.940\,t + 10.000\,(24 - t) = 180.000.

Passo 7

Agora resolvemos a equação passo a passo:
Primeiro, expandir o segundo termo:
2.940\,t + 10.000\cdot 24 - 10.000\,t = 180.000.
Calcule 10.000\cdot 24:
10.000\cdot 24 = 240.000.
Então
2.940\,t + 240.000 - 10.000\,t = 180.000.

Passo 8

Agrupando os termos em t e passando constantes para o outro lado:
(2.940 - 10.000)\,t + 240.000 = 180.000.
-7.060\,t + 240.000 = 180.000.
Subtraindo 240.000 dos dois lados:
-7.060\,t = 180.000 - 240.000 = -60.000.
Dividindo ambos os lados por -7.060:
t = \frac{60.000}{7.060}.

Passo 9

Vamos simplificar a fração \frac{60.000}{7.060}. Dividindo numerador e denominador por 20:
t = \frac{3.000}{353}.
Esta é a forma exata em meses. Agora vamos obter a aproximação decimal para interpretar melhor:
t \approx 8{,}4986\\ \text{meses}.
(Arredondei para 4 casas decimais; a parte fracionária 0{,}4986 de mês corresponde a cerca de 0{,}4986\times 30\approx 14{,}96 dias, ou aproximadamente 15 dias.)

Passo 10

Tempo do segundo empréstimo é 24-t. Usando a forma fracionária:
24-t = 24 - \frac{3.000}{353} = \frac{24\cdot 353 - 3.000}{353} = \frac{5.472}{353}.
Aproximando:
24-t \approx 15{,}5014\\ \text{meses}.
A parte fracionária 0{,}5014 de mês corresponde a cerca de 0{,}5014\times 30\approx 15{,}04 dias, ou aproximadamente 15 dias.

Passo 11

Interpretação final e checagem rápida (sanity check):
  • Primeiro empréstimo durou cerca de 8 meses e 15 dias; juros dele: 2.940\times 8{,}4986\approx 24.999{,}6 (≈ $25.000).
  • Segundo empréstimo durou cerca de 15 meses e 15 dias; juros dele: 10.000\times 15{,}5014\approx 155.014 (≈ $155.000).
    Soma ≈ $180.014 — pequenas diferenças por arredondamento; com as frações exatas a soma dá exatamente \$180.000,00.

Resposta

Primeiro empréstimo: \dfrac{3000}{353} meses \approx 8{,}4986 meses (aprox. 8 meses e 15 dias).
Segundo empréstimo: \dfrac{5472}{353} meses \approx 15{,}5014 meses (aprox. 15 meses e 15 dias).

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