Um empréstimo de
42.000,00
7 %
$200.000,00
5 %
$ 180.000,00$. Pede-se calcular os prazos referentes a cada um dos empréstimos.
Passo 1
Vou resumir claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder:
- Valor do primeiro empréstimo:
. - Taxa do primeiro empréstimo:
ao mês. - Em certo momento o devedor “resgata” (ou seja, encerra) o primeiro empréstimo e então contrai um segundo empréstimo.
- Valor do segundo empréstimo:
. - Taxa do segundo empréstimo:
ao mês. - Após
anos desde que o primeiro empréstimo foi contraído, ou seja, após meses, o devedor quita a dívida remanescente (liquida o que ainda devia do segundo empréstimo). - Total dos juros pagos nos dois empréstimos juntos:
.
O que precisamos encontrar: os prazos (em meses) de cada empréstimo — ou seja, quanto tempo o primeiro ficou vigente (antes de ser resgatado) e quanto tempo o segundo ficou vigente até a liquidação aos 24 meses.
Passo 2
Vamos definir variáveis para organizar a solução:
- Seja
o número de meses em que permaneceu o primeiro empréstimo (tempo entre contratação do primeiro e o momento em que ele foi resgatado). - Como a liquidação final ocorre aos
meses desde o início, o segundo empréstimo ficou ativo por meses.
Agora, a ideia será escrever a expressão dos juros pagos em cada empréstimo e somá-los, igualando a
.
Passo 3
Relembrando a fórmula de juros simples (já que as taxas são “lineares” = juros simples):
A fórmula do juro simples é
A fórmula do juro simples é
onde:
-
é o juro total pago; -
é o principal (valor emprestado); -
é a taxa por período (no nosso caso, por mês), escrita em forma decimal; -
é o número de períodos (número de meses aqui).
Vou aplicar essa fórmula separadamente para cada empréstimo.
Passo 4
Juros pagos no primeiro empréstimo:
- Principal
. - Taxa mensal
. - Tempo
meses.
Pelo juro simples,
Calculemos
:
Logo
Passo 5
Juros pagos no segundo empréstimo:
- Principal
. - Taxa mensal
. - Tempo
meses.
Pelo juro simples,
Calculemos
:
Logo
Passo 6
A condição do enunciado é que o total dos juros pagos nos dois empréstimos vale
. Assim:
Substituindo as expressões:
Passo 7
Agora resolvemos a equação passo a passo:
Primeiro, expandir o segundo termo:
Primeiro, expandir o segundo termo:
Calcule
:
Então
Passo 8
Agrupando os termos em
e passando constantes para o outro lado:
Subtraindo
dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 9
Vamos simplificar a fração
. Dividindo numerador e denominador por
:
Esta é a forma exata em meses. Agora vamos obter a aproximação decimal para interpretar melhor:
(Arredondei para 4 casas decimais; a parte fracionária
de mês corresponde a cerca de
dias, ou aproximadamente 15 dias.)
Passo 10
Tempo do segundo empréstimo é
. Usando a forma fracionária:
Aproximando:
A parte fracionária
de mês corresponde a cerca de
dias, ou aproximadamente 15 dias.
Passo 11
Interpretação final e checagem rápida (sanity check):
- Primeiro empréstimo durou cerca de
meses e dias; juros dele: (≈ $25.000). - Segundo empréstimo durou cerca de
meses e dias; juros dele: (≈ $155.000).
Soma ≈ $180.014 — pequenas diferenças por arredondamento; com as frações exatas a soma dá exatamente.
Resposta
Primeiro empréstimo:
meses
meses (aprox. 8 meses e 15 dias).
Segundo empréstimo: meses
meses (aprox. 15 meses e 15 dias).
Segundo empréstimo: