Uma pessoa contrai um empréstimo de \ 75.000,00 à taxa linear deà3,3 % ao mês. Em determinada data liquida este empréstimo pelo montante deêé$92.325,00 e contrai nova dívida no valor deí$ 40.000,00 pagando uma taxa de juros simples mais baixa. Este último empréstimo é resgatado 10 meses depois pelo montante deúéé$49.600,00$. Pede-se calcular:
o prazo do primeiro empréstimo e o valor dos juros pagos;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: o prazo do primeiro empréstimo e o valor dos juros pagos nesse primeiro empréstimo.
Dados fornecidos (vou listar todos para ficar claro):
P_1 = \$75.000,00
\text{taxa do primeiro empréstimo } i_1 = 3{,}3\% \text{ ao mês} = 0{,}033 \text{ por mês}éêê
\text{montante pago para quitar o primeiro empréstimo } M_1 = \$92.325,00é
Além disso o enunciado informa um segundo empréstimo (apenas como contexto):
P_2 = \$40.000,00,\quad M_2 = \$49.600,00,\quad \text{prazo do segundo empréstimo } = 10 \text{ meses}é
Mas as perguntas solicitadas são apenas sobre o primeiro empréstimo: encontrar o prazo e o valor dos juros pagos.

Passo 2

Vamos relembrar (com calma) a fórmula de juros simples, que é a que o enunciado chama de “taxa linear”.
Definições e fórmulas importantes:
  • P = capital (valor emprestado inicialmente).
  • i = taxa de juros por período (aqui, por mês).
  • n = número de períodos (aqui, número de meses).
  • M = montante (valor final pago ao término), que inclui capital + juros.
  • J = juros totais pagos.
Em juros simples a relação entre essas quantidades é:
M = P(1 + i\,n).
Isto significa: o montante é o capital mais os juros, e os juros crescem proporcionalmente ao tempo (linearmente).
Outra fórmula equivalente, útil para os juros pagos, é:
J = M - P = P\,i\,n.
Eu expliquei cada símbolo para você conseguir aplicar a fórmula na prova sem medo.

Passo 3

Aplicando a fórmula de juros simples ao primeiro empréstimo, substituímos P_1, i_1 e M_1 em
M_1 = P_1(1 + i_1\,n).
Fica:
92325 = 75000\bigl(1 + 0{,}033\,n\bigr).

Passo 4

Agora isolamos n. Primeiro dividimos ambos os lados por 75000:
\frac{92325}{75000} = 1 + 0{,}033\,n.
Calculando a razão:
\frac{92325}{75000} = 1{,}231.
Logo
1{,}231 = 1 + 0{,}033\,n.

Passo 5

Subtraindo 1 de ambos os lados:
0{,}231 = 0{,}033\,n.
Agora dividimos por 0{,}033:
n = \frac{0{,}231}{0{,}033}.
Fazendo a conta (ou observando que 0{,}033\times 7 = 0{,}231):
n = 7.
Portanto o prazo do primeiro empréstimo é de 7 meses.

Passo 6

Agora calculamos os juros pagos no primeiro empréstimo. Podemos usar J = M_1 - P_1 ou J = P_1 i_1 n. Vou mostrar as duas para fixar o raciocínio.
Usando a diferença:
J = M_1 - P_1 = 92325 - 75000 = 17325.
Usando a fórmula de juros:
J = P_1 i_1 n = 75000 \times 0{,}033 \times 7 = 75000 \times 0{,}231 = 17325.
As duas dão o mesmo resultado, então os juros pagos foram \$17.325,00.

Passo 7

Curiosidade rápida (não pedida, só para você treinar): se você quiser ver que o segundo empréstimo realmente tinha taxa menor, calcula-se a taxa do segundo pela mesma fórmula:
49600 = 40000(1 + i_2\cdot 10)\Rightarrow i_2 = \frac{49600/40000 - 1}{10} = \frac{1{,}24-1}{10} = 0{,}024
ou seja 2{,}4\% ao mês, que de fato é menor que 3{,}3\%. Isso confirma o enunciado. Agora vamos para a resposta final limpa.

Resposta

Prazo do primeiro empréstimo: 7 meses.
Juros pagos no primeiro empréstimo: \$17.325,00.

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