Uma pessoa contrai um empréstimo de \ 75.000,00 à taxa linear deà3,3 % ao mês. Em determinada data liquida este empréstimo pelo montante deêé$92.325,00 e contrai nova dívida no valor deí$ 40.000,00 pagando uma taxa de juros simples mais baixa. Este último empréstimo é resgatado 10 meses depois pelo montante deúéé$49.600,00$. Pede-se calcular:
a taxa simples de juros mensal e anual cobrada no segundo empréstimo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo.
Dados fornecidos:
  • Primeiro empréstimo: montante pago de liquidação igual a \$\,92.325,00 (informação do enunciado — não será necessária para achar a taxa do segundo empréstimo).
  • Segundo empréstimo (o que queremos analisar): capital inicial (principal) P = \$\,40.000,00.
  • Montante resgatado após n = 10 meses: M = \$\,49.600,00.
Pergunta que o enunciado faz:
  • Calcular a taxa de juros simples mensal cobrada no segundo empréstimo.
  • Calcular a taxa de juros simples anual correspondente (no mesmo regime de juros simples).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar — aula rápida e prática:
  • Em juros simples, os juros J gerados por um empréstimo são proporcionais ao capital P, à taxa por período i e ao número de períodos n. A fórmula é
J = P \cdot i \cdot n,
onde:
  • J é o valor total de juros acumulados no período (em reais);
  • P é o capital inicial (em reais);
  • i é a taxa de juros por período (em decimal; por exemplo, 0{,}05 representa 5\%);
  • n é o número de períodos (sem unidade, por ex.: meses).
  • O montante M (o que é pago no final) é a soma do capital mais os juros:
M = P + J.
  • Combinando as duas fórmulas obtemos a forma direta do montante em juros simples:
M = P\,(1 + i\cdot n).
  • Para encontrar a taxa i a partir de P, M e n, isolamos i:
i = \frac{M - P}{P \cdot n} = \frac{J}{P\cdot n}.
Explicando em palavras: subtraímos do montante o que foi emprestado para obter os juros, e dividimos pelos meses e pelo capital para achar a taxa por mês.

Passo 3

Calcular os juros efetivamente pagos no segundo empréstimo:
  • Os juros totais foram J = M - P.
  • Substituindo os valores dados:
J = \$\,49.600,00 - \$\,40.000,00 = \$\,9.600,00.
Isso significa que, em 10 meses, foram cobrados \$\,9.600,00 de juros sobre o capital de \$\,40.000,00.

Passo 4

Calcular a taxa mensal i usando i = \dfrac{J}{P\cdot n}.
  • Primeiro calcule o denominador:
P\cdot n = \$\,40.000,00 \times 10 = \$\,400.000,00.
  • Agora faça a divisão:
i = \frac{\$\,9.600,00}{\$\,400.000,00} = 0{,}024.
  • Converter para porcentagem (multiplica por 100\%):
i_{\text{mensal}} = 0{,}024 \times 100\% = 2{,}4\%.
Interpretação: a taxa simples cobrada no segundo empréstimo é de 2{,}4\% ao mês.

Passo 5

Calcular a taxa anual no mesmo regime de juros simples:
  • Em juros simples, a taxa anual (nominal simples) é obtida multiplicando a taxa mensal por 12, porque os juros não compostos somam linearmente por período:
i_{\text{anual}} = i_{\text{mensal}} \times 12.
  • Substituindo:
i_{\text{anual}} = 0{,}024 \times 12 = 0{,}288.
  • Em porcentagem:
i_{\text{anual}} = 0{,}288 \times 100\% = 28{,}8\%.
Observação rápida (para te deixar confiante): isso faz sentido com o enunciado que dizia que a taxa do segundo empréstimo era “mais baixa” — de fato 2{,}4\% ao mês é menor que os 3{,}3\% ao mês do primeiro empréstimo informado.

Resposta

i_{\text{mensal}} = 2{,}4\%
i_{\text{anual}} = 28{,}8\%

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