Um empreteiro está pintando as paredes e teto de uma sala retangular. O volume da sala é 668,25 pés cúbicos. O custo da pintura para a parede é 6 centavos por pé quadrado e o custo da pintura do teto é 11 centavos por pé quadrado, Encontre as dimensões da sala que resulta no custo mínimo de pintura. Qual é o custo mínimo da pintura?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma sala retangular com volume de 668,25 pés cúbicos. Um empreiteiro quer pintar as paredes e o teto dessa sala. O custo para pintar as paredes é de 6 centavos por pé quadrado e para pintar o teto é de 11 centavos por pé quadrado. Nosso objetivo é descobrir as dimensões da sala (comprimento, largura e altura) que vão fazer com que o custo total da pintura seja o menor possível. Para isso, vamos usar um pouco de geometria e cálculo de otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o volume da sala está relacionado com suas dimensões. A sala é retangular, então o volume $ V $ é dado por:
V
Sabemos que $ V = 668,25 $ pés cúbicos. Vamos chamar o comprimento de $ L $, a largura de $ W $ e a altura de $ H $. Assim, temos:
V = comprimento times largura times a

Passo 3

Como queremos minimizar o custo, precisamos expressar esse custo em termos das dimensões da sala. Vamos calcular a área das superfícies que serão pintadas.
  1. Área das paredes: A sala tem duas paredes de tamanho $ L \times H $ e duas de $ W \times H $. Então, a área total das paredes é:
L times H
  1. Área do teto: O teto é um retângulo de tamanho $ L \times W $.
Agora, multiplicamos cada área pelo custo correspondente:
W times H
2(L times H) + 2(W times H) = 2H(L + W)
O custo total $ C $ é a soma desses dois:
L times W

Passo 4

Nos falta relacionar todas as variáveis para poder otimizar. Sabemos que $ L \times W \times H = 668,25 $, então podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver para $ H $:
L times W times H = 668,25
Agora, substituímos $ H $ na equação do custo:
H
Isso simplifica para:
H = 668,25L times W

Passo 5

Para simplificar ainda mais, vamos assumir que a sala é um cubo, ou seja, $ L = W $. Isso geralmente ajuda a minimizar custos em problemas simétricos.
Se $ L = W $, então $ H = \frac{668,25}{L^2} $.
Substituindo na fórmula do custo:
L = W
L = W
H = 668,25L^2

Passo 6

Agora, queremos encontrar o valor de $ L $ que minimiza $ C $. Para isso, calculamos a derivada de $ C $ em relação a $ L $ e igualamos a zero:
L
Resolvendo para $ L $:
C
C
L
dCdL = -160,38L^2 + 0,22L = 0
L é

Passo 7

Com $ L \approx 9 $ pés e $ W = L $, temos $ W \approx 9 $ pés. Agora, calculamos a altura $ H $:
L approx 9 é

Passo 8

Agora que temos as dimensões:
  • Comprimento $ L \approx 9 $ pés
  • Largura $ W \approx 9 $ pés
  • Altura $ H \approx 8,25 $ pés
Vamos calcular o custo mínimo:
L approx 9
W approx 9
H approx 8,25
C = 0,12H(L + W) + 0,11LW
C = 0,12 times 8,25 times (9 + 9) + 0,11 times 9 times 9 ó

Resposta

As dimensões da sala que resultam no custo mínimo de pintura são aproximadamente 9 pés de comprimento, 9 pés de largura e 8,25 pés de altura. O custo mínimo da pintura é $26,73.

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