Sabendo que as funções seno e cosseno são contínuas, mostre que as funções tangente, cotangente, secante e cossecante são contínuas em seus respectivos domínios.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo necessário: precisamos mostrar que as funções tan x, cot x, sec x e csc x são contínuas em seus domínios. Vamos usar que sin x e cos x são contínuas em todo R e as propriedades de operações com funções contínuas: quociente de contínuas (com denominador não nulo) e recíproco de contínuas.

Passo 2

Continuidade de tan x: definimos tan x=dfracsin xcos x com domínio x:cos xneq0. Em qualquer ponto c desse domínio temos sin x e cos x contínuas em c e cos(c)neq0. Logo, pelo fato de que o quociente de duas funções contínuas com denominador não nulo é contínuo, concluímos que tan x é contínua em seu domínio.

Passo 3

Continuidade de cot x: definimos cot x=dfraccos xsin x com domínio x:sin xneq0. Como cos x e sin x são contínuas em todo R e em qualquer ponto c do domínio sin(c)neq0, o quociente é contínuo. Logo, cot x é contínua em seu domínio.

Passo 4

Continuidade de sec x: definimos sec x=dfrac1cos x com domínio x:cos xneq0. A função constante 1 e cos x são contínuas em R e cos(c)neq0 em qualquer ponto do domínio. Assim, o quociente 1/cos x é contínuo, e portanto sec x é contínua em seu domínio.

Passo 5

Continuidade de csc x: definimos csc x=dfrac1sin x com domínio x:sin xneq0. Pelos mesmos argumentos (continuidade de 1 e sin x, e sin(c)neq0 no domínio), concluímos que csc x é contínua em seu domínio.

Resposta

As funções tan x, cot x, sec x e csc x são contínuas em todo o seu domínio, pois são dadas por quocientes ou recíprocos de sin x e cos x, que são contínuas, e em seus domínios os denominadores não se anulam.

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