Sabendo que as funções seno e cosseno são contínuas, mostre que as funções tangente, cotangente, secante e cossecante são contínuas em seus respectivos domínios.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo necessário: precisamos mostrar que as funções
,
,
e
são contínuas em seus domínios. Vamos usar que
e
são contínuas em todo
e as propriedades de operações com funções contínuas: quociente de contínuas (com denominador não nulo) e recíproco de contínuas.
Passo 2
Continuidade de
: definimos
com domínio
. Em qualquer ponto
desse domínio temos
e
contínuas em
e
. Logo, pelo fato de que o quociente de duas funções contínuas com denominador não nulo é contínuo, concluímos que
é contínua em seu domínio.
Passo 3
Continuidade de
: definimos
com domínio
. Como
e
são contínuas em todo
e em qualquer ponto
do domínio
, o quociente é contínuo. Logo,
é contínua em seu domínio.
Passo 4
Continuidade de
: definimos
com domínio
. A função constante
e
são contínuas em
e
em qualquer ponto do domínio. Assim, o quociente
é contínuo, e portanto
é contínua em seu domínio.
Passo 5
Continuidade de
: definimos
com domínio
. Pelos mesmos argumentos (continuidade de
e
, e
no domínio), concluímos que
é contínua em seu domínio.
Resposta
As funções
,
,
e
são contínuas em todo o seu domínio, pois são dadas por quocientes ou recíprocos de
e
, que são contínuas, e em seus domínios os denominadores não se anulam.