En los ejercicios 14-21, determine el centro de masa de los cuerpos homogéneos limitados por las superficies indicadas.
x+y+z=1, x=0, y=0, z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o centro de massa de um corpo homogêneo limitado pelas superfícies x + y + z = 1, x = 0, y = 0 e z = 0. Isso significa que estamos trabalhando com geometria espacial e cálculo de centro de massa. Para resolver, vamos precisar integrar as coordenadas sobre o volume desse corpo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o centro de massa. Imagine que o corpo é feito de um material com densidade uniforme. O centro de massa é o ponto onde podemos imaginar que toda a massa do corpo está concentrada. Para encontrar esse ponto, precisamos calcular as coordenadas (x, y, z) usando integrais.

Passo 3

Vamos definir as coordenadas do centro de massa. As fórmulas para cada coordenada são:
x = 1V integralintegralintegral x , dV
y = 1V integralintegralintegral y , dV
z = 1V integralintegralintegral z , dV
Aqui, V é o volume do corpo. Precisamos calcular essas integrais sobre a região limitada pelas superfícies dadas.

Passo 4

Vamos encontrar o volume do corpo. O corpo delimitado por x + y + z = 1 e x = 0, y = 0, z = 0 é um tetraedro. O volume de um tetraedro formado pelos eixos e um plano x + y + z = a é dado por:
V = a^36
No nosso caso, a = 1, então:
V = 1^36 = 16

Passo 5

Agora, vamos calcular as integrais para x, y e z. Devido à simetria do tetraedro, sabemos que x = y = z. Vamos calcular uma delas, por exemplo, x:
x = 1V integral0^1 integral0^1 - x integral0^1 - x - y x , dz , dy , dx
Resolvendo a integral:
x = 116 integral0^1 integral0^1 - x x (1 - x - y) , dy , dx
Integrando em relação a y e depois a x, encontramos que:
x = 14
Como x = y = z, temos:
y = 14, z = 14

Resposta

O centro de massa do corpo homogêneo é (14, 14, 14).

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