En los ejercicios
, determine el centro de masa de los cuerpos homogéneos limitados por las superficies indicadas.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro de massa de um corpo homogêneo delimitado pelas superfícies $ z = x^{2} + y^{2} $ e $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 $, com $ z \geq 0 $. Esse problema envolve conceitos de cálculo de volumes e integrais triplas para determinar o centro de massa em três dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que limitam o corpo:
- Paraboloide: $ z = x^{2} + y^{2} $ — essa é a superfície inferior do nosso corpo.
- Esfera: $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 $ — essa é a superfície superior, mas como temos $ z \geq 0 $, consideramos apenas a parte superior da esfera.
O centro de massa de um corpo homogêneo está no ponto onde as coordenadas são as médias ponderadas das posições, considerando a densidade constante.
Passo 3
Devido à simetria do corpo em relação aos eixos $ x $ e $ y $, sabemos que as coordenadas $ \overline{x} $ e $ \overline{y} $ do centro de massa serão iguais a zero. Portanto, só precisamos encontrar a coordenada $ \overline{z} $.
Passo 4
Para encontrar $ \overline{z} $, usamos a fórmula:
onde $ V $ é o volume do corpo.
Passo 5
Vamos calcular o volume $ V $ do corpo. Em coordenadas cilíndricas ($ r, \theta, z $), as equações ficam mais simples:
- $ z = r^{2} $ (paraboloide)
- $ r^{2} + z^{2} = 3 $ (esfera)
Resolvendo para $ z $:
Então, os limites de $ z $ vão de $ r^{2} $ até $ \sqrt{3 - r^{2}} $.
Passo 6
Encontramos o limite para $ r $ determinando onde as duas superfícies se intersectam:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Resolvendo a equação quadrática em $ r^{2} $:
Então, $ r $ varia de 0 a 1.
Passo 7
Agora, expressamos o volume $ V $ em coordenadas cilíndricas:
Integrando em $ z $:
Passo 8
Integrando em $ r $:
Vamos dividir a integral em duas partes:
Calculando cada integral separadamente:
-
Para $ \int_{0}^{1} r \sqrt{3 - r^{2}} , dr $, fazemos a substituição $ u = 3 - r^{2} $, $ du = -2r , dr $:
-
Para $ \int_{0}^{1} r^{3} , dr $:
Então,
Passo 9
Agora, calculamos a integral para $ \iiint\limits_{V} z , dV $:
Integrando em $ z $:
Então,
Integrando em $ r $:
Passo 10
Finalmente, calculamos $ \overline{z} $:
Simplificando:
Resposta
O centro de massa do corpo homogêneo dado está no ponto $ \left( 0, 0, \overline{z} \right) $, onde:
Portanto, o centro de massa é aproximadamente $ (0, 0, 0,609) $.