En los ejercicios 14-21, determine el centro de masa de los cuerpos homogéneos limitados por las superficies indicadas.
2 z=x^2+y^2, x^2+y^2+z^2=3, z >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro de massa de um corpo homogêneo delimitado pelas superfícies $ z = x^{2} + y^{2} $ e $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 $, com $ z \geq 0 $. Esse problema envolve conceitos de cálculo de volumes e integrais triplas para determinar o centro de massa em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que limitam o corpo:
  1. Paraboloide: $ z = x^{2} + y^{2} $ — essa é a superfície inferior do nosso corpo.
  2. Esfera: $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3 $ — essa é a superfície superior, mas como temos $ z \geq 0 $, consideramos apenas a parte superior da esfera.
O centro de massa de um corpo homogêneo está no ponto onde as coordenadas são as médias ponderadas das posições, considerando a densidade constante.

Passo 3

Devido à simetria do corpo em relação aos eixos $ x $ e $ y $, sabemos que as coordenadas $ \overline{x} $ e $ \overline{y} $ do centro de massa serão iguais a zero. Portanto, só precisamos encontrar a coordenada $ \overline{z} $.

Passo 4

Para encontrar $ \overline{z} $, usamos a fórmula:
z
onde $ V $ é o volume do corpo.

Passo 5

Vamos calcular o volume $ V $ do corpo. Em coordenadas cilíndricas ($ r, \theta, z $), as equações ficam mais simples:
  • $ z = r^{2} $ (paraboloide)
  • $ r^{2} + z^{2} = 3 $ (esfera)
Resolvendo para $ z $:
V
Então, os limites de $ z $ vão de $ r^{2} $ até $ \sqrt{3 - r^{2}} $.

Passo 6

Encontramos o limite para $ r $ determinando onde as duas superfícies se intersectam:
r
Elevando ambos os lados ao quadrado:
r^2 = raiz3 - r^2
Resolvendo a equação quadrática em $ r^{2} $:
(r^2)^2 = 3 - r^2 r^4 + r^2 - 3 = 0 çã
Então, $ r $ varia de 0 a 1.

Passo 7

Agora, expressamos o volume $ V $ em coordenadas cilíndricas:
V
Integrando em $ z $:
V = integral0^2pi integral0^1 integralr^2^raiz3 - r^2 r , dz , dr , dtheta

Passo 8

Integrando em $ r $:
r
Vamos dividir a integral em duas partes:
V = 2pi integral0^1 r ( raiz3 - r^2 - r^2 ) dr
Calculando cada integral separadamente:
  1. Para $ \int_{0}^{1} r \sqrt{3 - r^{2}} , dr $, fazemos a substituição $ u = 3 - r^{2} $, $ du = -2r , dr $:
    V = 2pi ( integral0^1 r raiz3 - r^2 , dr - integral0^1 r^3 , dr )
  2. Para $ \int_{0}^{1} r^{3} , dr $:
    integral0^1 r raiz3 - r^2 , dr
Então,
u = 3 - r^2

Passo 9

Agora, calculamos a integral para $ \iiint\limits_{V} z , dV $:
integral triplalimitsV z , dV
Integrando em $ z $:
integral triplalimitsV z , dV = integral0^2pi integral0^1 integralr^2^raiz3 - r^2 z cdot r , dz , dr , dtheta
Então,
z
Integrando em $ r $:
integralr^2^raiz3 - r^2 z , dz = 12 ( (raiz3 - r^2)^2 - (r^2)^2 ) = 12 (3 - r^2 - r^4)

Passo 10

Finalmente, calculamos $ \overline{z} $:
z
Simplificando:
z = 1V integral triplalimitsV z , dV = 13pi122pi ( 3raiz3 - 2raiz23 - 14 ) = 1324 ( 3raiz3 - 2raiz23 - 14 )

Resposta

O centro de massa do corpo homogêneo dado está no ponto $ \left( 0, 0, \overline{z} \right) $, onde:
( 0, 0, z )
Portanto, o centro de massa é aproximadamente $ (0, 0, 0,609) $.

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