Halle el momento de inercia de una esfera homogénea de densidad po, de radio
, y de masa total
, con respecto de uno de sus diámetros y con respecto de una tangente a ella
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o momento de inércia de uma esfera homogênea com densidade $ \rho_0 $, raio $ R $ e massa total $ M $, em relação a um de seus diâmetros e também em relação a uma tangente a ela. Para isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e como calculá-lo para diferentes eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Ele é uma medida de quanta massa um objeto tem distribuída em relação a um eixo de rotação. Basicamente, quanto mais longe a massa está do eixo, maior o momento de inércia.
Passo 3
Como a esfera é homogênea, a massa está distribuída de forma uniforme. Para calcular o momento de inércia em relação a um diâmetro, usamos a fórmula específica para esferas homogêneas:
Essa fórmula nos dá o momento de inércia da esfera em torno de qualquer um de seus diâmetros.
Passo 4
Agora, queremos encontrar o momento de inércia em relação a uma tangente à esfera. Para isso, podemos usar o Teorema dos Eixos Paralelos, que nos permite calcular o momento de inércia em um eixo paralelo ao eixo original, deslocado por uma distância.
A fórmula do Teorema dos Eixos Paralelos é:
onde:
- $ I $ é o momento de inércia no novo eixo,
- $ I_{centro} $ é o momento de inércia no eixo central (no nosso caso, o diâmetro),
- $ M $ é a massa da esfera,
- $ d $ é a distância entre os dois eixos.
Passo 5
No nosso caso, o eixo tangente está a uma distância igual ao raio $ R $ do eixo do diâmetro. Então, substituindo na fórmula:
Resposta
O momento de inércia da esfera homogênea é:
- Em relação a um diâmetro: $ I_{diâmetro} = \frac{2}{5} M R^2 $
- Em relação a uma tangente: $ I_{tangente} = \frac{7}{5} M R^2 $