Halle el momento de inercia de una esfera homogénea de densidad po, de radio R, y de masa total M, con respecto de uno de sus diámetros y con respecto de una tangente a ella

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o momento de inércia de uma esfera homogênea com densidade $ \rho_0 $, raio $ R $ e massa total $ M $, em relação a um de seus diâmetros e também em relação a uma tangente a ela. Para isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e como calculá-lo para diferentes eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Ele é uma medida de quanta massa um objeto tem distribuída em relação a um eixo de rotação. Basicamente, quanto mais longe a massa está do eixo, maior o momento de inércia.

Passo 3

Como a esfera é homogênea, a massa está distribuída de forma uniforme. Para calcular o momento de inércia em relação a um diâmetro, usamos a fórmula específica para esferas homogêneas:
Idiâmetro = 25 M R^2 â
Essa fórmula nos dá o momento de inércia da esfera em torno de qualquer um de seus diâmetros.

Passo 4

Agora, queremos encontrar o momento de inércia em relação a uma tangente à esfera. Para isso, podemos usar o Teorema dos Eixos Paralelos, que nos permite calcular o momento de inércia em um eixo paralelo ao eixo original, deslocado por uma distância.
A fórmula do Teorema dos Eixos Paralelos é:
I = Icentro + M d^2
onde:
  • $ I $ é o momento de inércia no novo eixo,
  • $ I_{centro} $ é o momento de inércia no eixo central (no nosso caso, o diâmetro),
  • $ M $ é a massa da esfera,
  • $ d $ é a distância entre os dois eixos.

Passo 5

No nosso caso, o eixo tangente está a uma distância igual ao raio $ R $ do eixo do diâmetro. Então, substituindo na fórmula:
R

Resposta

O momento de inércia da esfera homogênea é:
  • Em relação a um diâmetro: $ I_{diâmetro} = \frac{2}{5} M R^2 $
  • Em relação a uma tangente: $ I_{tangente} = \frac{7}{5} M R^2 $

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