En los ejercicios
, determine el centro de masa de los cuerpos homogéneos limitados por las superficies indicadas.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o centro de massa de um corpo homogêneo limitado pelas superfícies $ z = y^{2} $, $ z = 1 $, $ x = -1 $ e $ x = 1
\overline{x}, \overline{y}, \overline{z} $). Para resolver, vamos precisar entender integrais triplas e simetria geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites do nosso corpo. As superfícies $ x = -1 $ e $ x = 1 $ indicam que o corpo se estende de $ x = -1 $ a $ x = 1 $. A superfície $ z = y^{2} $ é uma parábola que se abre para cima, enquanto $ z = 1 $ é um plano horizontal. Então, para cada valor de $ y $, $ z $ varia de $ y^{2} $ até 1.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para $ y $. Sabemos que $ z = y^{2} $ deve ser menor ou igual a 1, então $ y^{2} \leq 1 $. Isso significa que $ y $ varia de $ -1 $ a $ 1 $. Portanto, nossos limites de integração são:
- $ x $: de $ -1 $ a $ 1 $
- $ y $: de $ -1 $ a $ 1 $
- $ z $: de $ y^{2} $ a $ 1 $
Passo 4
Como o corpo é homogêneo, a densidade $ \rho $ é constante e podemos assumir $ \rho = 1 $ para simplificar os cálculos. O centro de massa $ (\overline{x}, \overline{y}, \overline{z}) $ é dado por:
onde $ V $ é o volume total do corpo.
Passo 5
Vamos calcular o volume $ V $ do corpo:
Integrando em $ z $:
Integrando em $ y $:
Passo 6
Agora, vamos calcular $ \overline{x} $:
Como o integrando $ x $ é uma função ímpar em relação a $ x $ e os limites de $ x $ são simétricos ($ -1 $ a $ 1 $), a integral de $ x $ sobre $ x $ será zero. Portanto, $ \overline{x} = 0 $.
Passo 7
Da mesma forma, para $ \overline{y} $:
A função $ y $ também é ímpar em relação a $ y $ e os limites de $ y $ são simétricos ($ -1 $ a $ 1 $), então a integral de $ y $ sobre $ y $ será zero. Portanto, $ \overline{y} = 0 $.
Passo 8
Agora, vamos calcular $ \overline{z} $:
Integrando em $ z $:
Então:
Resposta
O centro de massa do corpo é $ \left( \overline{x}, \overline{y}, \overline{z} \right) = \left( 0, 0, \frac{9}{20} \right) $.