En los ejercicios 25-29, determine el valor medio de la función f(x, y, z) dada en la región indicada.
f(x, y, z)=x y z, en Omega=(x, y, z) mid x^2+y^2+z^2 <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o valor médio da função $ f(x, y, z) = xyz $ dentro da região $ \Omega $, que é a esfera de raio 1 centrada na origem, ou seja, todos os pontos f(x, y, z) = xyz que satisfazem $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 $. Para resolver isso, vamos precisar usar integrais triplas e entender um pouco sobre simetria em funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor médio de uma função em uma região tridimensional. O valor médio $ f_{médio} $ é dado pela fórmula:
fmédio é
Aqui, $ \iiint_{\Omega} f(x, y, z) , dV $ representa a integral tripla da função sobre a região $ \Omega $, e $ Volume(\Omega) $ é o volume total da região.

Passo 3

Vamos calcular o volume da esfera $ \Omega $. Sabemos que o volume de uma esfera de raio $ R $ é dado por:
Omega
No nosso caso, $ R = 1 $, então:
R

Passo 4

Agora, vamos pensar na função $ f(x, y, z) = xyz $. Observe que essa função é ímpar em cada uma das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $. Isso significa que se mudarmos o sinal de qualquer uma dessas variáveis, a função muda de sinal.
Quando integramos uma função ímpar sobre uma região simétrica que inclui pontos positivos e negativos de $ x $, $ y $ e $ z $, as contribuições positivas e negativas se cancelam. No caso da esfera, que é perfeitamente simétrica em relação às três coordenadas, a integral de $ xyz $ será zero.

Passo 5

Portanto, a integral tripla de $ f(x, y, z) = xyz $ sobre a esfera $ \Omega $ é zero:
f(x, y, z) = xyz

Resposta

O valor médio da função $ f(x, y, z) = xyz $ na região $ \Omega $ é $ 0 $.

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