En los ejercicios 25-29, determine el valor medio de la función
dada en la región indicada.
, en
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o valor médio da função $ f(x, y, z) = xyz $ dentro da região $ \Omega $, que é a esfera de raio 1 centrada na origem, ou seja, todos os pontos
que satisfazem $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 $. Para resolver isso, vamos precisar usar integrais triplas e entender um pouco sobre simetria em funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor médio de uma função em uma região tridimensional. O valor médio $ f_{médio} $ é dado pela fórmula:
Aqui, $ \iiint_{\Omega} f(x, y, z) , dV $ representa a integral tripla da função sobre a região $ \Omega $, e $ Volume(\Omega) $ é o volume total da região.
Passo 3
Vamos calcular o volume da esfera $ \Omega $. Sabemos que o volume de uma esfera de raio $ R $ é dado por:
No nosso caso, $ R = 1 $, então:
Passo 4
Agora, vamos pensar na função $ f(x, y, z) = xyz $. Observe que essa função é ímpar em cada uma das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $. Isso significa que se mudarmos o sinal de qualquer uma dessas variáveis, a função muda de sinal.
Quando integramos uma função ímpar sobre uma região simétrica que inclui pontos positivos e negativos de $ x $, $ y $ e $ z $, as contribuições positivas e negativas se cancelam. No caso da esfera, que é perfeitamente simétrica em relação às três coordenadas, a integral de $ xyz $ será zero.
Passo 5
Portanto, a integral tripla de $ f(x, y, z) = xyz $ sobre a esfera $ \Omega $ é zero:
Resposta
O valor médio da função $ f(x, y, z) = xyz $ na região $ \Omega $ é $ 0 $.