En los ejercicios 25-29, determine el valor medio de la función f(x, y, z) dada en la región indicada.
f(x, y, z)=x^2+y^2+z, en Omega=(x, y, z) mid 1 <= x^2+y^2+z^2 <= 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o valor médio da função $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z $ na região $ \Omega $ definida por $ 1 \leq x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 4 $. Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente integrais múltiplas e o cálculo de volume em coordenadas esféricas. Vamos precisar calcular a integral de $ f $ sobre $ \Omega $ e também o volume dessa região para encontrar o valor médio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região $ \Omega $. A equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2} $ representa uma esfera de raio $ r $ no espaço tridimensional. Então, $ 1 \leq x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 4 $ descreve o espaço entre duas esferas: uma de raio 1 e outra de raio 2. Essa região é chamada de casca esférica.

Passo 3

Para calcular a média de $ f $ sobre $ \Omega $, usamos a fórmula do valor médio:
f é
Então, precisamos calcular a integral tripla de $ f $ sobre $ \Omega $ e dividir pelo volume dessa casca esférica.

Passo 4

Vamos calcular o volume de $ \Omega $. O volume de uma esfera de raio $ r $ é dado por $ \frac{4}{3}\pi r^{3} $. Portanto, o volume da casca esférica é:
Omega

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de $ f $ sobre $ \Omega $. Para facilitar, vamos mudar para coordenadas esféricas, onde:
f
O elemento de volume em coordenadas esféricas é $ dV = \rho^{2}\sin\phi , d\rho , d\phi , d\theta $. Assim, a função $ f $ em coordenadas esféricas fica:
Omega

Passo 6

A integral de $ f $ sobre $ \Omega $ fica então:
f
Vamos simplificar e calcular essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, integremos em relação a $ \theta $:
theta
Então, a integral se torna:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 8

Agora, integramos em relação a $ \rho $:
Para o primeiro termo:
rho
Para o segundo termo:
integral1^2 rho^4 , drho = [ rho^55 ]1^2 = 325 - 15 = 315

Passo 9

Substituindo de volta na integral, temos:
2pi ( 315 integral0^pi sin^3phi , dphi + 154 integral0^pi cosphi sinphi , dphi )
Vamos calcular cada integral em relação a $ \phi $.

Passo 10

Para a primeira integral:
integral0^pi sin^3phi , dphi = 43
Para a segunda integral:
integral0^pi cosphi sinphi , dphi = 12 [ sin^2phi ]0^pi = 12 (0 - 0) = 0

Passo 11

Substituindo os resultados das integrais:
2pi ( 315 times 43 + 154 times 0 ) = 2pi times 12415 = 24815pi

Passo 12

Agora, temos a integral de $ f $ sobre $ \Omega $ igual a $ \frac{248}{15}\pi $ e o volume de $ \Omega $ igual a $ \frac{28}{3}\pi $. Para encontrar a média, dividimos:
f é

Resposta

O valor médio da função $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z $ na região $ \Omega $ é aproximadamente $ 1,486 $.

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