En los ejercicios 25-29, determine el valor medio de la función
dada en la región indicada.
, en
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o valor médio da função $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z $ na região $ \Omega $ definida por $ 1 \leq x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 4 $. Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente integrais múltiplas e o cálculo de volume em coordenadas esféricas. Vamos precisar calcular a integral de $ f $ sobre $ \Omega $ e também o volume dessa região para encontrar o valor médio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região $ \Omega $. A equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2} $ representa uma esfera de raio $ r $ no espaço tridimensional. Então, $ 1 \leq x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 4 $ descreve o espaço entre duas esferas: uma de raio 1 e outra de raio 2. Essa região é chamada de casca esférica.
Passo 3
Para calcular a média de $ f $ sobre $ \Omega $, usamos a fórmula do valor médio:
Então, precisamos calcular a integral tripla de $ f $ sobre $ \Omega $ e dividir pelo volume dessa casca esférica.
Passo 4
Vamos calcular o volume de $ \Omega $. O volume de uma esfera de raio $ r $ é dado por $ \frac{4}{3}\pi r^{3} $. Portanto, o volume da casca esférica é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de $ f $ sobre $ \Omega $. Para facilitar, vamos mudar para coordenadas esféricas, onde:
O elemento de volume em coordenadas esféricas é $ dV = \rho^{2}\sin\phi , d\rho , d\phi , d\theta $. Assim, a função $ f $ em coordenadas esféricas fica:
Passo 6
A integral de $ f $ sobre $ \Omega $ fica então:
Vamos simplificar e calcular essa integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, integremos em relação a $ \theta $:
Então, a integral se torna:
Passo 8
Agora, integramos em relação a $ \rho $:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Passo 9
Substituindo de volta na integral, temos:
Vamos calcular cada integral em relação a $ \phi $.
Passo 10
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:
Passo 11
Substituindo os resultados das integrais:
Passo 12
Agora, temos a integral de $ f $ sobre $ \Omega $ igual a $ \frac{248}{15}\pi $ e o volume de $ \Omega $ igual a $ \frac{28}{3}\pi $. Para encontrar a média, dividimos:
Resposta
O valor médio da função $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z $ na região $ \Omega $ é aproximadamente $ 1,486 $.