En los ejercicios 25-29, determine el valor medio de la función f(x, y, z) dada en la región indicada.
f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2, en Omega=(x, y, z) mid x^2+y^2 <= 1,-1 <= z <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o valor médio da função $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} $ na região $ \Omega $ definida por $ x^{2} + y^{2} \leq 1 $ e $ -1 \leq z \leq 1 $. Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente envolvendo integrais triplas para encontrar médias em regiões tridimensionais. Vamos precisar usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração nessa região cilíndrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o valor médio de uma função numa região. A fórmula para o valor médio $ \overline{f} $ é:
f
Então, precisamos calcular a integral tripla da função $ f $ sobre $ \Omega $ e dividir pelo volume da região $ \Omega $.

Passo 3

Vamos calcular o volume da região $ \Omega $. Como $ \Omega $ é um cilindro com raio 1 (porque $ x^{2} + y^{2} \leq 1 $) e altura 2 (de $ z = -1 $ a $ z = 1 $), o volume é dado por:
Omega

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral tripla de $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} $ sobre $ \Omega $. Podemos separar essa integral em três partes:
f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2

Passo 5

Devido à simetria da região, sabemos que $ \iiint_{\Omega} x^{2} , dV = \iiint_{\Omega} y^{2} , dV $. Então, podemos calcular uma dessas e multiplicar por 2:
integral triplaOmega x^2 , dV = integral triplaOmega y^2 , dV

Passo 6

Vamos usar coordenadas cilíndricas, onde $ x = r\cos\theta $, $ y = r\sin\theta $ e $ z = z $. O elemento de volume $ dV $ em coordenadas cilíndricas é $ r , dr , d\theta , dz $. Assim, a integral $ \iiint_{\Omega} x^{2} , dV $ fica:
x = rcostheta

Passo 7

Vamos determinar os limites de integração:
  • $ r $ vai de 0 a 1,
  • $ \theta $ vai de 0 a $ 2\pi $,
  • $ z $ vai de -1 a 1.
Então, a integral fica:
r

Passo 8

Vamos resolver a parte da integral em $ \theta $:
theta
Portanto, a integral se simplifica para:
integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi
Multiplicando por 2 (devido à simetria):
integral-1^1 integral0^1 r^3 times pi , dr , dz = pi integral-1^1 [ r^44 ]0^1 dz = pi integral-1^1 14 , dz = pi times 14 times 2 = pi2

Passo 9

Agora, vamos calcular a integral de $ z^{2} $ sobre $ \Omega $:
z^2 Á
Integrando:
Omega

Passo 10

Somando todas as partes da integral:
integral triplaOmega f(x, y, z) , dV = pi + 2pi3 = 5pi3

Passo 11

Finalmente, aplicamos a fórmula do valor médio:
f = 12pi times 5pi3 = 56

Resposta

O valor médio da função $ f(x, y, z) $ na região $ \Omega $ é $ \frac{5}{6} $.

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