En los ejercicios 25-29, determine el valor medio de la función
dada en la región indicada.
, en
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o valor médio da função $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} $ na região $ \Omega $ definida por $ x^{2} + y^{2} \leq 1 $ e $ -1 \leq z \leq 1 $. Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente envolvendo integrais triplas para encontrar médias em regiões tridimensionais. Vamos precisar usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração nessa região cilíndrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular o valor médio de uma função numa região. A fórmula para o valor médio $ \overline{f} $ é:
Então, precisamos calcular a integral tripla da função $ f $ sobre $ \Omega $ e dividir pelo volume da região $ \Omega $.
Passo 3
Vamos calcular o volume da região $ \Omega $. Como $ \Omega $ é um cilindro com raio 1 (porque $ x^{2} + y^{2} \leq 1 $) e altura 2 (de $ z = -1 $ a $ z = 1 $), o volume é dado por:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral tripla de $ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} $ sobre $ \Omega $. Podemos separar essa integral em três partes:
Passo 5
Devido à simetria da região, sabemos que $ \iiint_{\Omega} x^{2} , dV = \iiint_{\Omega} y^{2} , dV $. Então, podemos calcular uma dessas e multiplicar por 2:
Passo 6
Vamos usar coordenadas cilíndricas, onde $ x = r\cos\theta $, $ y = r\sin\theta $ e $ z = z $. O elemento de volume $ dV $ em coordenadas cilíndricas é $ r , dr , d\theta , dz $. Assim, a integral $ \iiint_{\Omega} x^{2} , dV $ fica:
Passo 7
Vamos determinar os limites de integração:
- $ r $ vai de 0 a 1,
- $ \theta $ vai de 0 a $ 2\pi $,
- $ z $ vai de -1 a 1.
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos resolver a parte da integral em $ \theta $:
Portanto, a integral se simplifica para:
Multiplicando por 2 (devido à simetria):
Passo 9
Agora, vamos calcular a integral de $ z^{2} $ sobre $ \Omega $:
Integrando:
Passo 10
Somando todas as partes da integral:
Passo 11
Finalmente, aplicamos a fórmula do valor médio:
Resposta
O valor médio da função $ f(x, y, z) $ na região $ \Omega $ é $ \frac{5}{6} $.